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En géométrie, la formule de Bretschneider permet de calculer l'aire d'un quadrilatère non croisé :
où, , sont les longueurs des côtés du quadrilatère, le demi-périmètre, et et deux angles opposés quelconques .
On peut remarquer que puisque .
Cette formule fonctionne pour un quadrilatère convexe ou concave (mais non croisé), non forcément inscriptible.
Elle généralise la formule de Brahmagupta de l'aire d'un quadrilatère inscriptible (cas ), ainsi que la formule de Héron de l'aire d'un triangle (cas ).
Elle montre qu'un quadrilatère articulé possède une aire maximale lorsqu'on inscrit ses sommets dans un cercle.
Elle a été découverte en 1842 par le mathématicien allemand Carl Anton Bretschneider .
Démonstration En la séparant par l'une des diagonales intérieures (par exemple []), la surface du quadrilatère est réunion de deux surfaces triangulaires. Son aire est alors donnée par
D'où
Or la formule d'Al-Kashi donne
Cela peut être réécrit en
En ajoutant ceci à la formule ci-dessus donnant , on obtient
Après factorisation de , on obtient :
qui s'écrit aussi ,
d'où la formule de Bretschneider.
Voir une autre démonstration dans E. A. José García, Two Identities and their Consequences, MATINF, 6 (2020) 5-11. .
Autres formules pour l'aire dans le cas convexe vignette En ajoutant les aires des quatre triangles découpés par les diagonales, on obtient :
où et sont les longueurs des diagonales et une mesure de leur angle.
En utilisant la formule d'Al-Kashi dans les quatre triangles découpés par les diagonales, on obtient : .
D'où, d'une part : ,
d'autre part : .
Cette formule peut être modifiée en , forme due à Coolidge , montrant le lien avec la formule de Bretschneider.
Cette forme permet aussi de retrouver la formule de Brahmagupta pour le cas inscriptible, car dans ce cas, d'après le théorème de Ptolémée, .
Majoration de l'aire, formule des arpenteurs Le fisc égyptien utilisait pour le calcul de l'aire d'un champ quadrilatéral convexe le produit des longueurs moyennes des côtés opposés : .
On a avec égalité si et seulement si le champ est rectangulaire.
On a :
Il y a égalité si et seulement si les sinus valent 1, c'est-à-dire si le quadrilatère est un rectangle.
Cette méthode, présente aussi dans le problème 64 du papyrus démotique British Museum 10520 dans le cas d’un calcul de l’aire d’un quadrilatère non irrégulier (un rectangle)Parker, Demotic Papyri, p. 71, est très présente dans les textes cunéiformes mésopotamiens des périodes les plus anciennes jusqu’au plus récentesMarianne Michel, Les mathématiques de l’Égypte ancienne, p. 279-280Friberg, Egyptian and Babylonian, p. 158-159 .
Références
Voir aussi
Formule de Brahmagupta Théorème de Ptolémée Aire du trapèze
Liens externes
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