En mathématiques, plus précisément en géométrie différentielle, l'isomorphisme musical (ou isomorphisme canonique) est un isomorphisme entre le fibré tangent et le fibré cotangent d'une variété pseudo-riemannienne induite par son tenseur métrique. Il existe des isomorphismes similaires sur les variétés symplectiques. Le terme musical fait référence à l'utilisation des symboles (bémol) et (dièse).
En notation covariante et contravariante, il est également connu sous le nom d'indice d'élévation et d'abaissement.
Discussion Soit une variété pseudo-riemannienne. Supposons que soit un repère tangent mobile (voir aussi repère lisse) pour le fibré tangent avec, comme repère dual (voir aussi base duale), le co-repère mobile (un repère tangent mobile pour le fibré cotangent , voir aussi coframe) .
Ensuite, localement, nous pouvons exprimer la métrique pseudo-riemannienne (qui est un champ tensoriel -covariant symétrique et non dégénéré) sous la forme (où nous employons la convention de sommation d'Einstein).
Étant donné un champ vectoriel , nous définissons son bémol :
C'est ce qu'on appelle « abaisser un indice ». En utilisant la notation traditionnelle entre crochets en losange pour le produit scalaire défini par , nous obtenons la relation (un peu plus « transparente ») :
pour tous les champs vectoriels et .
De même, étant donné un champ de covecteurs , on définit son « dièse » :
où sont les composantes du tenseur métrique inverse (données par les entrées de la matrice inverse de ). Prendre le dièse d'un champ de covecteurs s'appelle " élever un indice ". Dans la notation du produit interne, cela se lit
pour tout champ de covecteurs et tout champ de vecteurs .
Par cette construction, on a deux isomorphismes mutuellement inverses
Ce sont des isomorphismes de fibrés vectoriels et, par conséquent, nous avons, pour chaque dans , des isomorphismes d'espace vectoriel mutuellement inverses entre et .
Extension aux produits tenseurs Les isomorphismes musicaux peuvent également être étendus aux faisceaux
L'indice qui doit être augmenté ou abaissé doit être indiqué. Par exemple, considérons le -champ tenseur . En élevant le deuxième indice, nous obtenons le -champ tenseur.
Extension aux vecteurs-k et formes-k Dans le contexte de l'algèbre extérieure, une extension des opérateurs musicaux peut être définie sur et son dual , qui avec un abus mineur de notation, peut être noté identique, et sont à nouveau des inverses mutuels :
Défini par
Dans cette extension, dans laquelle un bémol fait correspondre les p-vecteurs aux p-covecteurs et un dièse fait correspondre les p-covecteurs aux p-vecteurs, tous les indices d'un tenseur totalement antisymétrique sont simultanément élevés ou abaissés, donc aucun indice n'a besoin d'être indiqué :
Trace d'un tenseur à travers un tenseur métrique Étant donné un champ tensoriel de type , on définit la trace de à travers le tenseur métrique par
Remarquons que la définition de trace est indépendante du choix de l'indice à relever, puisque le tenseur métrique est symétrique.
Articles connexes Dualité (mathématiques) Hausse et baisse des indices Espaces duaux, voir § Dual space Dual de Hodge Fibrés vectoriels Bémol (musique) et dièse (musique) sur les signes et
Références
Bibliographie
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