En mathématiques, la mesure de Mahler est une mesure de la complexité des polynômes. Elle porte le nom de Kurt Mahler (1903–1988) et était à l'origine utilisée dans la recherche de grands nombres premiers. En raison de la connexion à des valeurs particulières des fonctions L, elle fait l'objet de nombreuses conjectures en théorie analytique des nombres. Elle est aussi utilisée dans les Bornes de Landau-Mignotte reliant les coefficients d'un polynôme aux coefficient de ses diviseurs.
Définition La mesure de Mahler d'un polynôme à coefficients réels ou complexes est par définition :
où
est la norme de . A l'aide de la formule de Jensen, on peut montrer que pour la factorisation :
on obtient l'expression :
.
La mesure de Mahler logarithmique d'un polynôme est définie comme
.
La mesure de Mahler d'un nombre algébrique est définie comme la mesure de Mahler du polynôme minimal de sur .
Démonstration La formule de Jensen affirme que pour une fonction holomorphe ayant pour zéros sur le disque fermé on a la relation
En appliquant cette formule à la fonction où en on obtient : .
En passant le de l'autre côté de l'égalité et en appliquant la relations coefficients racines qui donne , puis en passant à l'exponentielle on retrouve bien .
Propriétés
La mesure de Mahler est multiplicative, c'est-à-dire : Pour les polynômes cyclotomiques et leurs produits, on a . Théorème de Kronecker : Si un polynôme unitaire irréductible à coefficients entiers et , alors soit , soit est un polynôme cyclotomique. La stipule qu'il existe une constante telle que tout polynôme irréductible à coefficients entiers est soit cyclotomique soit vérifie . La mesure de Mahler d'un polynôme unitaire à coefficients entiers est un nombre de Perron .
Valeurs spéciales des fonctions L Il existe de nombreuses relations, en partie conjecturées et en partie également prouvées, entre les mesures de Mahler (logarithmiques) des polynômes et des valeurs particulières des fonctions L .
Historiquement, le premier exemple est la formule de Smyth:
où . et
Une conjecture de Ted Chinburg affirme que, pour tout entier positif , il existe un polynôme de Laurent et un nombre rationnel tel que
où
est le discriminant du caractère .
Une approche qui remonte à consiste à représenter les mesures logarithmiques de Mahler d'une certaine classe de polynômes comme des combinaisons linéaires rationnelles de valeurs du dilogarithme de Bloch-Wigner d'arguments algébriques, et de mettre ces valeurs à leur tour en relation avec le volume d'une variété hyperbolique, et en les reliant à des valeurs spécifiques de fonctions zêta via le théorème de Borel.
Mesure de Mahler pour les polynômes de plusieurs variables La mesure de Mahler d'un polynôme est défini de manière analogue par la formule
On peut montrer que converge .
Pour , soit
Alors on a :
Bibliographie
. .
. . . . — Réimpression dans la collection Modern Birkhäuser Classics, Birkhäuser , xviii + 310 p. (2011).
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Notes et références
Liens externes
Catégorie:Théorie analytique des nombres