En mathématiques, les nombres idoines d'Euler (également appelés nombres convenables) sont des entiers naturels définis en 1778 par Leonhard Euler. Ce dernier en a calculé une liste de 65 éléments dont on ne sait pas encore aujourd'hui si elle est complète ou non.
Définitions
La définition donnée par Euler est la suivante. :
On a trouvé depuis de nombreuses autres caractérisations de ces nombres, dont une liste se trouve dans la page de l'OEIS. La plus simple en est la suivante :
Autre définition :
Conjecture de la liste complète
La liste des 65 nombres idoines obtenue par Euler est la suivante :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365 et 1848 (). Par exemple, 11 n'est pas idoine car il peut s'écrire .
Les résultats de Peter J. Weinberger de 1973Acta Arith., 22 (1973), . impliquent qu'il existe au plus deux autres nombres idoines, et que la liste ci-dessus est complète si l'hypothèse de Riemann généralisée est valable (certaines sources affirment à tort que les résultats de Weinberger impliquent qu'il existe au plus un autre nombre idoine)Ann. Sci. Math. Québec 35, No 2, (2011), 197-227..
Articles connexes Liste des problèmes non résolus en mathématiques Liste de sujets portant le nom de Leonhard Euler
Notes
Références
Z.I. Borevich et I.R. Shafarevich, Number Theory. Academic Press, NY, 1966, p. 425–430. L. Euler, " An illustration of a paradox about the idoneal, or suitable, numbers ", 1806. Günther Frei, Les nombres convenables de Leonhard Euler, Publications Université de Besançon, 1983-1984. O.H. Keller, Über die "Numeri idonei" von Euler, Beiträge Algebra Geom., 16 (1983), 79–91. [Math. Rév. 85m:11019]. G.B. Mathews, Number theory, Chelsea, sans date, . P. Ribenboim, "Galimatias Arithmeticae", dans Mathematics Magazine 71(5) 339 1998 MAA ou, "My Numbers, My Friends", Chap.11 Springer-Verlag 2000 NY. J. Steinig, On Euler's ideoneal numbers, Elemente Math., 21 (1966), 73–88. P. Weinberger, Exponents of the class groups of complex quadratic fields, Acta Arith., 22 (1973), 117–124. Ernst Kani, Idoneal Numbers And Some Generalizations, Ann. Sci. Math. Québec 35, No 2, (2011), 197-227.
Liens externes
KS Brown, Mathpages, Numeri Idonei. M. Waldschmidt, Open Diophantine problems. .
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