vignette|300x300px|Graphique tridimensionnel représentant la moyenne logarithmique de x et y. En mathématiques, la moyenne logarithmique est un type de moyenne.
Pour deux réels strictement positifs, elle est égale à leur différence, divisée par le logarithme de leur quotient. Cette moyenne est utilisée lors de problèmes d'ingénierie concernant le transfert de chaleur et de masse.
Définitions La moyenne logarithmique de deux réels strictement positifs est définie par : .
Ainsi, par exemple, la moyenne logarithmique de 1 et 2 est , voir la .
La moyenne logarithmique de réels positifs est définie par:
ou, de manière équivalente:
où désigne le simplexe euclidien
et et
Si tous les sont distincts deux à deux, alors la formule se simplifie en :
ou
Propriétés La moyenne logarithmique est bien une moyenne, car comprise entre et (ce résultat est connu sous le nom d'« inégalité de Napier»). Elle est de plus homogène : .
Inégalités
La moyenne logarithmique de deux nombres est inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique et à leur moyenne d'ordre 1/2, mais supérieure ou égale à leur moyenne géométrique et à leur moyenne harmonique ; plus précisément :
. Les deux inégalités extrêmes viennent de la croissance avec de la moyenne d'ordre et les deux inégalités centrales de la croissance avec de la moyenne de Stolarsky .
Ces deux dernières inégalités se démontrent élémentairement comme suit.
Pour , on pose ; les inégalités s'écrivent alors .
En remplaçant par , la première inégalité s'écrit , inégalité classique.
La deuxième s'écrit aussi ; en remplaçant par , elle s'écrit , inégalité également classique.
La relation entre les moyennes géométrique, logarithmique et arithmétique peut aussi se déduire de l'inégalité d'Hermite-Hadamard pour sur .
Contrairement à d'autres moyennes usuelles, la moyenne logarithmique ne vérifie pas la propriété de compatibilité : la moyenne logarithmique de n nombres change si on remplace termes par leur moyenne logarithmique partielle.
Diverses obtentions de cette moyenne
Par le théorème des accroissements finis D'après le théorème des accroissements finis, il existe un réel entre et où la dérivée d'une fonction f est égale à la pente de la sécante :
La moyenne logarithmique est le nombre lorsque l'on prend :
soit :
Par intégration La moyenne logarithmique peut également être interprétée comme l'aire sous une courbe définie par des fonctions exponentielle :
Le calcul est direct :
Carlson donne d'autres expressions intégrales:
La première intégrale se fait par un simple changement de variables affine : .
Pour la deuxième intégrale, on utilise la décomposition en éléments simples : .
D'après le théorème des sommes de Riemann, est la limite de la suite décroissante , formée de moyennes arithmétiques de moyennes géométriques pondérées.
Généralisation
Par le théorème des accroissements finis généralisé à l'ordre n On peut généraliser la moyenne logarithmique à n + 1 variables en considérant le théorème des accroissements finis généralisé à l'ordre n faisant intervenir les différences divisées d'ordre n du logarithme.
On obtient
où désigne la différence divisée d'ordre n du logarithme.
Pour n = 2, cela donne par exemple :
.
Par intégration L'interprétation intégrale peut aussi être généralisée à plusieurs variables, mais elle conduit à un résultat différent. Étant donné le simplexe où et une mesure appropriée qui assigne au simplexe un volume égal à 1, on obtient
Cela peut être simplifié en utilisant les différences divisées de la fonction exponentielle pour
.
Exemple pour
.
Relations avec d'autres moyennes
Moyenne arithmétique :
Moyenne géométrique :
Moyenne harmonique :
Articles connexes La moyenne géométrique, autre moyenne liée aux logarithmes La moyenne de Stolarsky dont la moyenne logarithmique est un cas particulier
Références
Notes
Catégorie:Moyenne Catégorie:Logarithme