En mathématiques, la moyenne de Stolarsky est une généralisation de la moyenne logarithmique. Elle a été introduite par Kenneth B. Stolarsky en 1975 .
Définition Étant donné un nombre réel différent de 0 et 1, la moyenne de Stolarsky d'ordre de deux nombres réels strictement positifs est définie par : .
Obtention de cette moyenne Étant donné une fonction dérivable sur un intervalle , de dérivée strictement monotone sur , il existe, d'après le théorème des accroissements finis, un unique réel dans l'intervalle tel que (qui est la valeur moyenne de sur )
La moyenne de Stolarsky est précisément égale à
lorsqu'on prend .
Propriétés est bien une moyenne, car comprise entre et . De plus on peut prolonger par continuité à l'ensemble des réels, ce qui donne une fonction croissante.
Cas particuliers
est le minimum de et . s'exprime à partir de la moyenne harmonique et de la moyenne géométrique de et . est leur moyenne géométrique. est leur moyenne logarithmique. Elle est obtenue par la formule en prenant . est leur moyenne (de Hölder) d'ordre 1/2. est leur moyenne identrique. Elle est obtenue à partir de la formule en prenant . est leur moyenne arithmétique. s'exprime à partir de la moyenne quadratique et de la moyenne géométrique de et . est le maximum de et .
Généralisations
Pour plusieurs variables On peut généraliser cette moyenne à + 1 variables en considérant le théorème des accroissements finis pour les différences divisées. On obtient :
avec .
Pour une fonction quelconque La définition pour est possible dès que la fonction est strictement convexe et dérivable sur . On a vu ci-dessus les cas .
Pour , on a dont on peut noter qu'elle n'est pas homogène .
D'autre part, on peut montrer que la moyenne harmonique ne peut être obtenue comme moyenne de type .
Moyennes bi-paramétriques On peut définir des moyennes de Stolarsky pour deux paramètres p et q par: .
Voir aussi
Moyenne d'ordre p Moyenne de Lehmer
Références
Catégorie:Moyenne