vignette| Un jeu de dés isoédriques En géométrie, un polytope de dimension 3 (un polyèdre) ou plus est dit isoédrique lorsque ses faces sont identiques, et plus précisément lorsque le groupe de symétrie du solide agit transitivement sur l'ensemble des faces. En termes élémentaires, ceci signifie que pour deux faces quelconques et , il existe une rotation ou une réflexion du solide qui le laisse occuper la même région de l'espace en déplaçant la face vers la face . Par exemple, les polyèdres isoédriques convexes fournissent des dés équitables.
Les polyèdres isoédriques sont appelés des isoèdres. Ils peuvent être décrits par la configuration des faces. Pour un isoèdre à sommets réguliers le groupe de symétrie agit aussi transitivement sur les arêtes (c'est un polyèdre isotoxal). Un tel polyèdre est dit dualement quasi régulier.
Un isoèdre a un nombre pair de faces.
Un polyèdre isoédrique a un polyèdre dual qui est isogonal, c'est-à-dire sommets-transitif. Les solides de Catalan, les bipyramides et les trapézoèdres sont tous isoédriques. Ce sont les duaux des solides d'Archimède, des prismes et des antiprismes, respectivement, qui sont isogonaux. Les solides de Platon, qui sont soit auto-duaux, soit duaux d'un autre solide de Platon, sont isogonaux, isotoxaux et isoédriques. Un polyèdre isoédrique et isogonal est dit .
Les isozonoèdres (zonoèdres à faces isométriques) ne sont pas tous des isoèdres. Exemple : l'icosaèdre rhombique est un isozonoèdre non isoèdrique.
Exemples Convexe ConcaveLa bipyramide hexagonale, V4.4.6 est un exemple non régulier de polyèdre isoédrique. Le pavage du Caire, V3.3.4.3.4Le nid d'abeilles dodécaédrique rhombique est un exemple de nid d'abeilles isoédrique (et isochore) remplissant l'espace.Carrelage carré topologique.
Classes d'isoèdres par symétrie Facesconfig. des facesClasseNomSymmétrieOrdreConvexeCoplanaireNon convexe4V33Platoniquetétraèdretétraèdre équifacedisphénoïde rhombiqueTd, [3,3], (*332)D2d, [2+,2], (2*)D2, [2,2]+, (222)24 4446V34PlatoniquecubeTrapézoèdre trigonalTrapézoèdre trigonal asymétriqueOh, [4,3], (*432)D3d, [2+,6](2*3)D3[2,3]+, (223)48121268V43Platoniqueoctaèdrebipyramide carrébipyramide rhombiquescalénoèdre carréOh, [4,3], (*432)D4h,[2,4],(*224)D2h,[2,2],(*222)D2d,[2+,4],(2*2)48168812V35Platoniquedodécaèdre régulierpyritoèdretétartoideIh, [5,3], (*532)Th, [3+,4], (3*2)T, [3,3]+, (*332)120241220V53Platoniqueicosaèdre régulierIh, [5,3], (*532)12012V3.62CatalantriakitétraèdreTd, [3,3], (*332)2412V(3.4)2Catalandodécaèdre rhombiquedodécaèdre trapézoidalOh, [4,3], (*432)Td, [3,3], (*332)482424V3.82CatalantriakioctaèdreOh, [4,3], (*432)4824V4.62CatalantétrakihexaèdreOh, [4,3], (*432)4824V3.43Catalanicositétraèdre trapézoïdalOh, [4,3], (*432)4848V4.6.8CatalanhexakioctaèdreOh, [4,3], (*432)4824V34.4Catalanicositétraèdre pentagonalO, [4,3]+, (432)2430V(3.5)2Catalantriacontaèdre rhombiqueIh, [5,3], (*532)12060V3.102Catalantriaki-icosaèdreIh, [5,3], (*532)12060V5.62CatalanpentakidodécaèdreIh, [5,3], (*532)12060V3.4.5.4Catalanhexacontaèdre trapézoïdalIh, [5,3], (*532)120120V4.6.10Catalanhexaki-icosaèdreIh, [5,3], (*532)12060V34.5Catalanhexacontaèdre pentagonalI, [5,3]+, (532)602nV33.nPolaireantidiamantantidiamant asymétriqueDnd, [2+,2n], (2*n)Dn, [2,n]+, (22n)4n2n2n4nV42.nV42.2nV42.2nPolairebipyramide n-régulière2n-bipyramide isotoxal2n-scalénoèdreDnh, [2,n], (*22n)Dnh, [2,n], (*22n)Dnd, [2+,2n], (2*n)4n
Définitions connexes Une figure isochore est un n-polytope (n > 3) ou un nid d'abeilles dont le groupe de symétrie agit transitivement sur les cellules. En dimension 4, les polytopes isochores ont été dénombrés jusqu'à 20 cellules..
Une figure isotopique est un polytope à n dimensions ou un nid d'abeilles dont le groupe de symétrie agit transitivement sur les facettes ((n−1)- faces). la figure duale est isogonale.
Références
Liens externes
isohedra 25 classes d'isoèdres de nombre d'arêtes fini Dice Design at The Dice Lab
Catégorie:Polychore Catégorie:Polyèdre