La conjecture de Duffin-Schaeffer est une conjecture (maintenant un théorème) en mathématiques, concernant l'approximation diophantienne proposée par R. J. Duffin et A. C. Schaeffer en 1941. Elle stipule que si est une fonction à valeurs réelles prenant des valeurs positives, alors pour presque tout (par rapport à la mesure de Lebesgue), l'inégalité
a une infinité de solutions en entiers premiers entre eux avec si et seulement si
où est l'indicatrice d'Euler.
En 2019, la conjecture de Duffin-Schaeffer a été prouvée par Dimitris Koukoulopoulos et James Maynard.
Progrès L'implication de l'existence des approximations rationnelles par la divergence de la série découle du lemme de Borel-CantelliHarman (2002) . La reciproque était le cœur de la conjecture. Il y a eu de nombreux résultats partiels de la conjecture de Duffin-Schaeffer : Paul Erdős a établi en 1970 que la conjecture est vraie s'il existe une constante tel que pour tout entier nous avons soit ou Harman (1998) . Cela a été renforcé par Jeffrey Vaaler en 1978 pour le cas Harman (1998) .
En 2006, Beresnevich et Velani ont prouvé qu'une conjecture analogue pour la mesure de Hausdorff est équivalente à la conjecture originale de Duffin-Schaeffer, qui est a priori plus faible. Ce résultat est publié dans les Annals of Mathematics.
En , Dimitris Koukoulopoulos et James Maynard ont annoncé une preuve de la conjecture. En , la preuve a été publiée dans les Annals of Mathematics..
Problèmes connexes Un analogue de dimension supérieure de cette conjecture a été résolu par Vaughan et Pollington en 1990Harman (2002) .
Notes
Références
Liens externes
Article du magazine Quanta sur la conjecture de Duffin-Schaeffer. Interview de Numberphile avec James Maynard à propos de la preuve.
Catégorie:Approximation diophantienne Duffin-Schaeffer