En mathématiques, la moyenne de Lehmer d'une famille de nombres réels strictement positifs, portant le nom de Derrick Henry Lehmer, est une moyenne définie par .:

où est un réel quelconque.

La moyenne de Lehmer pondérée par une famille de poids positifs est définie par :

Elle n'est autre que la moyenne de pondérée par la famille .

La moyenne de Lehmer propose une alternative à la moyenne de Hölder habituelle pour relier le minimum et le maximum en passant par la moyenne harmonique et la moyenne arithmétique.

Propriétés vignette|400px|Comparaison entre la moyenne de Lehmer de 1 et 2 (en rouge), avec leur moyenne de Hölder (en bleu).

La moyenne de Lehmer d'ordre + 1 d'un -uplet de nombres positifs est supérieure ou égale à la moyenne (de Hölder) d'ordre si et seulement si est supérieur ou égal à 1, et inversement :

La moyenne de Lehmer ne respecte pas l'inégalité de Minkowski pour tout ordre:

La dérivée de

étant positive, cette fonction est croissante ; on a donc l’implication

La dérivée de la moyenne pondérée de Lehmer est :

Cas particuliers

est le minimum de . est la moyenne harmonique. est la moyenne géométrique de et . est la moyenne arithmétique. est la moyenne contre-harmonique. est le maximum de .

Références

Liens externes

Catégorie:Moyenne