Dans un espace métrique, un nombre de Lebesgue (en référence à Henri-Léon Lebesgue) est un nombre associé à un recouvrement ouvert de l'espace, tel que, s'il existe, toute boule ouverte de rayon soit contenue dans un . Un tel nombre se révèle utile par exemple pour la démonstration de la caractérisation séquentielle de la compacité d'un espace métrique.
Propriété fondamentale
Dans les trois références citées, les auteurs utilisent le lemme suivantPour une démonstration de ce lemme, voir par exemple : , , , ou le :
La preuve tient alors en trois phrases (voir l'article détaillé).
Puisque, réciproquement, tout espace métrique compact est séquentiellement compact, on déduit du lemme ci-dessus :
Mais on peut aussi démontrer le lemme de Lebesgue directementVoir par exemple .
Références
Catégorie:Nombre