En mathématiques, un espace de Lorentz, noté est une généralisation de la notion d'espace de Lebesgue (notés ).
Comme les espaces , un espace de Lorentz est caractérisé par sa norme (techniquement une quasi-norme) qui encode des informations sur la masse d'une fonction, de manière analogue à la norme . La norme de Lorentz offre un contrôle plus strict sur les deux composantes qui forment la masse d'une fonction (son étendue et sa norme ponctuelle) que les normes . La norme de Lorentz est invariante sous des réarrangements arbitraires des valeurs d'une fonction.
Définition
Par une quasi-norme L'espace de Lorentz sur un espace mesurable est défini l'espace des fonctions mesurables à valeurs complexes sur tel que la quasinorme suivante soit finie
où et . Ainsi, lorsque
et quand ,
Il est également classique de fixer .
Par le réarrangement décroissant La quasinorme de Lorentz est invariante par réarrangement des valeurs de la fonction . En particulier, étant donné une fonction mesurable à valeurs complexes définie sur un espace mesurable, , son réarrangement décroissant, est défini par
où est la fonction de distribution de , donnée par
, Les deux fonctions et sont équimesurables, c'est-à-dire que où est la mesure de Lebesgue sur . Le réarrangement symétrique décroissant associé, qui est également équimesurable avec , est défini par
Compte tenu de ces définitions, pour et , les quasinormes de Lorentz sont données par
Structure
Espace de Banach
Quasi-norme de Lorentz
Norme de Lorentz
Espace d'interpolation Les espaces de Lorentz généralisent la notion d'espace au sens où, pour tout , . De plus, l'espace coïncide avec l'espace faible (espace de Marcinkiewicz). Ce sont des espaces quasi-Banach (c'est-à-dire des espaces quasi-normés qui sont aussi complets) et sont normables pour et . Lorsque , est muni d'une norme, mais il n'est pas possible de définir une norme équivalente à la quasi-norme de . En effet, si l'on définit les fonctions et
dont la quasi-norme vaut 1, alors que la quasi-norme de leur somme vaut 4.
L'espace est inclus dans dès que . Les espaces de Lorentz sont des espaces d'interpolation entre et .
Espace dual Si est un espace de mesure σ-fini non atomique, alors
pour , ou ; pour , ou ; pour .
où et sont les exposants conjugués de et . On a par exemple pour , pour , et .
Propriétés Inégalité de Hölder où , , , et .
Inégalité de Hardy-Littlewood
Caractérisation dyadique Les éléments suivants sont équivalents pour .
. où a un support disjoint avec la mesure , presque partout dans le support de , et . presque partout où et .
Articles connexes Espace d'interpolation Inégalité de Hardy-Littlewood
Notes et références
Liens externes
Catégorie:Espace de Banach Catégorie:Espace fonctionnel remarquable