vignette|Le problème des deux échelles se pose ainsi : connaissant les longueurs et des échelles, et la hauteur du point où elle se croisent, on cherche la largeur du couloir .

En mathématiques récréatives, le problème des deux échelles (dans un couloir) est un problème à l'énoncé très simple, mais présentant la particularité d’aboutir à une équation du quatrième degré .

Énoncé

On dispose de deux échelles, l’une de mètres et l'autre de mètres. On les pose dans un couloir l’une à côté de l’autre, leurs extrémités appuyées sur les murs opposés du couloir et les échelles se croisant. Elles se croisent à mètre du sol. Quelle est la largeur du couloir ?

Historique Martin Gardner mentionne ce problème en 1979 dans son livre "Mathematical Circus" en citant William Ransom, qui l'a publié en 1953 , mais son origine première est inconnue.

Résolution Avec les notations de la figure, le but est de connaitre .

Or, on peut établir que la hauteur est la moitié de la moyenne harmonique des bases du trapèze (la résolution ne demandant que le théorème de Thalès) : ce résultat serait connu du mathématicien indien Mahāvīra en 850 .

De plus, d'après le théorème de Pythagore, . vignette|300x300px|Animation obtenue en laissant fixes et en faisant varier .

Le point d'intersection des échelles suit une courbe du huitième degré. On obtient donc l'équation : .

Pour , un logiciel de calcul donne pour solution : , voir la .

L'élimination des racines carrées conduit à l'équation algébrique , où , qui est du huitième degré en , mais du quatrième degré en , donc résoluble.

Avec les valeurs numériques proposées, l'équation s'écrit

Cette équation polynomiale de degré 8 est résoluble par radicaux, et la solution s'écrit : avec

Problème arithmétique associé Albert A. Bennett a recherché en 1940 des solutions où les trois longueurs sont entières, et a trouvé la famille : , où sont des entiers strictement positifs vérifiant les trois conditions :

est un carré parfait

étant le PGCD des quatre membres de droite.

Par exemple, donne , avec .

Une solution en entiers impairs est donnée par : , avec .

Il a été démontré en 1941 que toute solution primitive est de ce type .

Il y a même une infinité de solutions où les positions supérieures des échelles sont également entières .

Lien externe

Références

Catégorie:Mathématiques récréatives Catégorie:Géométrie