En mathématiques le coefficient binomial central d'ordre est le coefficient binomial défini par :
Il est ainsi nommé pour la position centrale qu'il occupe dans la liste des pour (ligne d'indice du triangle de Pascal) ; l'identité de Vandermonde : montre qu'il s'obtient par la somme des carrés des termes de la ligne d'indice de ce triangle.
Pour les premières valeurs de , celles du coefficient binomial central associé sont : 1, 2, 6, 20, 70, 252. La liste de toutes les valeurs constitue la .
Propriétés liées à la divisibilité Autour de la parité Sauf pour le premier d'entre eux, , tout coefficient binomial central est un entier pair.
Plusieurs preuves élémentaires existent. La plus simple, utilisant la « formule du pion » (), montre que ce coefficient est le double d'un entier « voisin » dans le triangle de Pascal : . Un diviseur élémentaire Le coefficient binomial central d'ordre est divisible par , ce qui revient à dire que le nombre de Catalan est un entier.
Pour le prouver, le plus simple est — de même que pour les coefficients binomiaux — d'utiliser l'une des nombreuses interprétations combinatoires de ..
Il existe aussi des preuves algébriques. On peut par exemple remarquer (avec une coquille).. que .
Cas où n est premier Si est un nombre premier, l'égalité , montre que
Moins élémentairement, avec le théorème de Wolstenholme, il résulte de dans . que si est supérieur ou égal à 5, on a même
On conjecture que constitue une condition nécessaire et suffisante pour que soit premier, car cette propriété est vraie jusqu'à , mais cette conjecture n'est pas prouvée.
Plus grand exposant d'un facteur premier Dans la décomposition en produit de facteurs premiers du coefficient binomial central d'ordre , on note la puissance du nombre premier , c'est-à-dire que est le plus grand exposant tel que divise . Si désigne la partie entière du réel , alors, en posant , on établit, en application de la formule de Legendre :
Par exemple, si et , alors et , de sorte que 5 divise le nombre mais 5 ne le divise pas.
En vertu de la relation , chaque terme de la somme ci-dessus est , d'où .
D'après le théorème de Kummer, on a aussi : où est la somme des chiffres de en base , ce qui est aussi égal au nombre de retenues lorsqu'on effectue l'addition en base . Par exemple, si tous les chiffres de en base sont strictement inférieurs à , n'est pas multiple de .
Dans le cas où , le nombre est donc le nombre de dans l’écriture binaire de . Pour tout , vaut donc au moins et l'on retrouve ainsi que est pair, et on obtient qu'il est même multiple de 4 si n'est pas une puissance de 2, § 2 : ..
Particularité de la fin de la décomposition en produit de facteurs premiers La décomposition en produit de facteurs premiers de possède la particularité de se terminer par la liste des nombres premiers de (liste non vide d'après le postulat de Bertrand), comme le montre l'exemple .
On montre en effet à partir de la formule de Legendre ci-dessus qu'un nombre premier apparait dans la décomposition de en produit de facteurs premiers avec l'exposant pour dans , et avec l'exposant pour .
Le produit des nombres premiers de : où désigne la primorielle de est en particulier un diviseur de et les diviseurs premiers de sont tous inférieurs ou égaux à .
Sur le site de l'OEIS, est répertoriée comme , et comme .
En 1850, Tchebychev utilise cette propriété pour obtenir une évaluation de la distribution des nombres premiers..
Une conjecture due à Erdős
Les exemples vus précédemment montrent que si les nombres premiers supérieurs à de la décomposition de ont un exposant égal à 1, au moins l'un de ceux qui précèdent possède un exposant > 1. Si n'est pas une puissance de 2, on a vu que est multiple de , mais le phénomène est général.
En 1975, Paul Erdős conjecture que, pour , le coefficient binomial central est toujours divisible par le carré d'un nombre premier, c'est-à-dire qu'il n'est pas quadratfrei. Le résultat est établi pour grand par András Sárközy dix ans plus tard.. Il est totalement démontré par G. Velammal en 1995. et indépendamment par Andrew Granville et Olivier Ramaré en 1996..
La suite des plus grands exposants dans la décomposition en produit de facteurs premiers de est répertoriée comme .
Lien avec la fonction de compte des nombres premiers Le coefficient binomial central vérifie la majoration où est le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux au réel .
En effet, comme vu ci-dessus, la valuation de l'entier dans vérifie . Puisque . Tchebychev utilise cette propriété pour établir la minoration de gauche dans les inégalités suivantes
En effet, de manière élémentaire : donc . Si à on associe l'entier tel que :.
Séries avec coefficient binomial central Série génératrice On note et la série génératrice associée. À l'aide de la relation de récurrence : , on montre que est solution de l'équation différentielle linéaire : ce qui permet d'obtenir l'expression, écrit directement cette formule, comme cas particulier de la formule du binôme généralisée. Pour plus de détails, voir par exemple , (identité 150) ou . (valable pour ) : .On en déduit par exemple, pour : .
Série génératrice de l'inverse Elle se déduit facilement de la relation : .
On en déduit la somme des inverses des coefficients binomiaux centraux : , voir la .
Cette relation s'obtient par dérivation de la série génératrice des intégrales de Wallis d'ordre impair : .
Pour dans cette dernière, on obtient la série connue d'Euler : .
Autres séries remarquables Le coefficient binomial central apparaît de manière inattendue dans des égalités remarquables, ce qui explique l'intérêt qui lui est porté.
En 1985, Derrick Lehmer calcule, en fonction de deux suites de polynômes définies par récurrence sur l'entier , les séries de la forme Par exemple : donc en divisant par et en intégrant : .
En 1730, dans son étude du problème de Bâle, Stirling avait utilisé l'accélération de convergence pour déterminer des valeurs approchées de la première somme (il ne disposait pas de l'égalité ci-dessus, dont on déduit que ).
L'intérêt pour les sommes avec coefficient binomial central s'est accru après que Roger Apéry a utilisé l'égalité où désigne la fonction zêta de Riemann. Dans un théorème qui porte son nom, il en déduit que est irrationnel..
Lehmer montre que où et sont des entiers, et remarque que est . La suite est la et la ; le fait que a été démontré en 2011 .
Lehmer s'intéresse plus généralement aux séries du type , où les sont . Par exemple, en divisant par l'égalité et en intégrant, il obtient : .En remplaçant par dans la double expression ci-dessus de et en dérivant, on obtient : ,qui donne, pour :
Autres expressions du coefficient binomial central
Représentations intégrales On trouve dans la littérature plusieurs expressions du coefficient binomial central à l'aide d'intégrales. Ainsi par exemple
La première expression est liée à l'intégrale de Wallis d'ordre pair : .
Expressions binomiales Le coefficient binomial central s'obtient comme résultat des sommes suivantes :
La première relation — cas particulier de l'identité de Vandermonde — s'obtient par exemple en exprimant le coefficient de degré de deux façons dans .
La deuxième relation s'obtient en exprimant le coefficient de degré de deux façons dans l'identité .
La troisième est le cas particulier de l'égalité , que l'on peut démontrer par récurrence sur (à l'aide de la formule de Pascal), mais aussi combinatoirement, § ..
Expressions approchées et comportement asymptotique
Comportement asymptotique Connaissant un équivalent de la suite des intégrales de Wallis et leur lien avec les coefficients binomiaux centraux , on obtient : .
Cet équivalent permet d'établir la formule de Stirling à partir de celle d'Abraham de Moivre.
Inversement, on peut utiliser la formule de Stirling pour produire un équivalent du coefficient binomial central.
À partir du développement asymptotique de !, on obtient .
Encadrement L'encadrement issu du développement ci-dessus : est valable pour tout .
On peut même améliorer la majoration en pour tout .
Produit de deux coefficients binomiaux centraux Le produit est divisible par . Leur quotient est représenté par la .
Cette propriété peut se démontrer par récurrence grâce à la relation ou à l'aide de la formule de Legendre.
Définition alternative Dans son encyclopédie , Eric W. Weisstein définit le coefficient binomial central d'ordre comme étant le coefficient binomial . Il s'agit alors de la .
Les termes de rang pair selon cette définition correspondent aux coefficients définis au début de cet article.
Références
Voir aussi
Démonstration par Erdős du Postulat de Bertrand
Bibliographie
Liens externes
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