droite|vignette|350x350px| Surface de coordonnées cylindriques paraboliques. Les fonctions cylindre parabolique apparaissent lorsque la séparation des variables est utilisée sur l'équation de Laplace dans ces coordonnées alt=Plot of the parabolic cylinder function D v(z) with v=5 in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D|vignette| Tracé de la fonction cylindre parabolique dans le plan complexe de à avec des couleurs créées avec la fonction Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
En mathématiques, les fonctions cylindre parabolique sont des fonctions spéciales définies comme des solutions à l'équation différentielle
Cette équation apparait lorsque la technique de séparation des variables est utilisée sur l'équation de Laplace exprimée en coordonnées cylindriques paraboliques.
L'équation ci-dessus peut être amenée sous deux formes distinctes (A) et (B) en complétant le carré et en redimensionnant , appelées équations de HF Weber :
(A) et (B)
Si
est une solution, alors le sont aussi
Si
est une solution de l'équation (A), alors
est une solution de (B), et, par symétrie,
sont aussi des solutions de (B).
Solutions Il existe des solutions paires et impaires indépendantes de l'équation de la forme (A). Ceux-ci sont donnés par (suivant la notation d'Abramowitz et Stegun (1965)):
où est la fonction hypergéométrique confluente de première espèce.
D'autres paires de solutions indépendantes peuvent être formées à partir de combinaisons linéaires des solutions ci-dessus (voir Abramowitz et Stegun). Une telle paire est basée sur leur comportement à l'infini :
où
La fonction se rapproche de zéro pour les grandes valeurs de et , tandis que diverge pour les grandes valeurs de réel positif.
et
Pour les valeurs demi-entières de , celles-ci (c'est-à-dire et ) peuvent être réexprimées en termes de polynômes d'Hermite ; alternativement, elles peuvent également être exprimés en termes de fonctions de Bessel.
Les fonctions et peuvent également être apparentées aux fonctions (une notation datant de Whittaker (1902)) qui sont elles-mêmes parfois appelées fonctions cylindre parabolique (voir Abramowitz et Stegun (1965)) :
La fonction a été introduite par Whittaker et Watson comme solution de l'équation ~(1) avec borné à . Il peut être exprimé en termes de fonctions hypergéométriques confluentes comme
Un développement en série entière pour cette fonction a été obtenue par Abadir (1993).
Références .
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Catégorie:Fonction spéciale