65 537 est le nombre entier suivant et précédant . C'est un nombre premier et un nombre de Fermat, et le plus grand nombre connu possédant ces deux propriétés.
Mathématiques vignette| Construction d'un polygone régulier de (voir « Polygone constructible »). est le plus grand nombre premier connu de la forme ( = 4). Ainsi, un polygone régulier à peut être construit à la règle et au compas ; la première construction explicite est obtenue en 1894 par .. En théorie des nombres, les nombres premiers de cette forme sont appelés nombres premiers de Fermat, du nom du mathématicien français Pierre de Fermat. Les seuls nombres premiers de Fermat connus sont :
.
Leonhard Euler découvre en 1732 que le nombre de Fermat suivant est un nombre composé : , et Fortuné Landry en 1880 qu'il en est de même pour celui d'après : .
est également le nombre de Jacobsthal-Lucas, et le plus grand entier connu tel que soit un nombre premier probable.
Applications est couramment utilisé comme exposant public dans le chiffrement RSA. Comme il s'agit du nombre de Fermat avec , le raccourci courant est ou . Cette valeur a été utilisée dans le chiffrement RSA principalement pour des raisons historiques ; les premières implémentations de chiffrement RSA brutes (sans rembourrage approprié) étaient vulnérables aux très petits exposants, tandis que l'utilisation d'exposants élevés était coûteuse en calculs sans aucun avantage pour la sécurité (en supposant un rembourrage approprié).
est également utilisé comme module dans certains générateurs de nombres aléatoires de Lehmer, comme celui utilisé par ZX Spectrum, qui garantit que toute valeur de départ sera copremiers (essentielle pour assurer la période maximale) tout en permettant une réduction efficace par le module en utilisant un décalage de bit et une soustraction.
Références
65537