En physique mathématique, le star-produit est un opérateur mathématique sur une variété de Poisson pour déformer la multiplication de l'algèbre des fonctions lisses à valeurs complexes en une algèbre associative non commutative.
L'opérateur est une quantification de déformation, une formalisation mathématique de la quantification issue de la physique.
Définitions Déformation formelle Soit un anneau commutatif et une algèbre sur un anneau. Soit l'anneau des séries formelles et l'algèbre des séries formelles sur avec les coefficients dans .
La déformation formelle de l'opérateur de multiplication de l'algèbre est une application -bilinéaire
tel que pour tout
et est la multiplication des séries formelles :
Star-produit Soit une variété de Poisson, où est un tenseur de Poisson.
Le star-produit est une déformation formelle sur , c'est-à-dire une multiplication -bilinéaire
de la forme
et sont des applications -bilinéaire
vérifiant les axiomes: est associative: pour tout . . (où est le crochet de Poisson). pour tout .
Propriétés Si les sont des opérateurs bidifférentiels, est appelé un star-produit différentiel.
Si les sont des opérateurs bidifférentiels d'ordre est dans chaque argument, est appelé un star-produit naturel.
On appelle un du type Weyl, si et est hermitien, c'est-à-dire (avec la convention ).
Exemple Le défini comme
pour est un star-produit sur avec une forme symplectique canonique et la constante de Planck .
Existence Sur les variétés symplectiques De Wilde et Lecomte ont prouvé qu'un star-produit différentiel existe sur chaque variété symplectique.
Sur les variétés de Poisson Maxime Kontsevitch a prouvé que toute variété de Poisson de dimension finie peut être quantifiée, ce qui implique l'existence de star-produits différentiels sur des variétés de Poisson arbitraires.
Littérature
Références
Catégorie:Physique mathématique Catégorie:Physique quantique