La fonction de Weierstrass, aussi appelée fonction de Weierstrass-Hardy, fut en 1872 le premier exemple publié d'une fonction réelle d'une variable réelle qui est continue partout, mais dérivable nulle part. On le doit à Karl Weierstrass et Leopold Kronecker ; les hypothèses ont été améliorées par G. H. Hardy.vignette|Évolution de la courbe de la fonction de Weierstrass lors d'une augmentation linéaire de la valeur de de 0,1 à 5, pour fixé égal à 0,5. la non-dérivabilité démarre à = 2.
Construction Il s'agit en fait d'une famille de fonctions dépendant de deux paramètres, définie comme somme d'une série trigonométrique par :
La fonction est continue pour , (convergence uniforme sur de la série de fonction, par le critère de Weierstrass). Ce dernier supposait de plus entier impair vérifiant pour prouver la non dérivabilité en tout point.
Hardy a prouvé ensuite que l'hypothèse suffit pour qu'elle ne soit dérivable en aucun point, mais la preuve en est sensiblement plus difficile.. On peut simplifier sa démonstration dans le cas ..
Inversement, est de classe pour tout entier tel que .
Caractère fractal du graphe de la fonction Le graphe de la fonction de Weierstrass est l'une des toutes premières fractales étudiées, bien que ce terme n'ait été utilisé que beaucoup plus tard. En particulier cette fonction continue n'est, pour , monotone sur aucun intervalle, aussi petit soit-il.
Le calcul de la dimension de Hausdorff du graphe de la fonction de Weierstrass est resté un problème ouvert jusqu'en 2017, bien que Mandelbrot ait conjecturé que .. ; cela n'a été démontré indépendamment par les mathématiciens allemand Gerhard Keller et chinois que 30 ans plus tard. .
Cependant, la dimension de Minkowski-Bouligand (notion proche de celle de Hausdorff, obtenue en comptant des recouvrements par des carrés disjoints au lieu de disques), était, elle, déjà connue depuis les années 1980 et l'on sait désormais que les deux sont égales..
Cette courbe permet d'obtenir un pavage fin du plan dont les pièces sont fractales.
Continuité höldérienne Il est pratique d'écrire la fonction Weierstrass de manière équivalente sous la forme :
.
Alors est -höldérienne., c'est-à-dire qu'il existe une constante telle que
.
De plus, (donc pour ) est höldérienne pour tous les ordres strictement inférieurs à 1 mais pas lipschitzienne auquel cas elle aurait été presque partout dérivable (théorème de Rademacher).
Références
Voir aussi Articles connexes Fonction continue nulle part dérivable : article détaillé d'un point de vue historique et donnant d'autres exemples. Série trigonométrique Fonction presque périodique
Lien externe
Weierstrass Catégorie:Fractale Catégorie:Série (mathématiques)