En théorie des probabilités, une filtration est une famille de tribus dans l'ordre croissant et chaque prédécesseur est un sous-ensemble du successeur, c'est-à-dire

pour les éléments de filtration .

Avec la filtration on modélise le flux d'informations. Chaque élément de la famille a l'information sur les événements qui étaient observables au temps .

Definition Soient un espace de probabilité et .

La famille des sous-tribu est une filtration si ordonnée par ordre croissant, cela signifie

pour tout .

est un espace de probabilité filtré.

Caractérisations de filtration Filtration naturelle Soit un processus stochastique. La filtration naturelle est . C'est la filtration minimale telle que soit adapté. Filtration continue Soit une filtration. On définit

on a toujours . On définit

On appelle filtration continue à gauche, si , c'est-à-dire pour tout On appelle filtration continue à droite, si , c'est-à-dire pour tout On appelle filtration continue, si

On définit également

Filtration augmentée Pour un espace de probabilité nous définissons l'ensemble -négligeable

La filtration avec

est appelé filtration augmentée.

Conditions habituelles Pour un espace de probabilité filtré on dit que les conditions usuelles sont satisfaites si est continue à droite et contient tout l'ensemble négligeable, c'est-à-dire

Bibliographie

Références

Remarques

Catégorie:Calcul stochastique Catégorie:Processus stochastique