En mathématiques, les invariants de Seiberg-Witten sont des invariants importants des 4-variétés différentielles. Parmi leurs applications, il y a la preuve de la , l'inexistence de métriques de courbure scalaire positive, les décompositions en somme connexe, ou les structures symplectiques sur diverses 4-variétés. De plus, ils peuvent distinguer différentes structures différentielles sur les 4-variétés topologiques.
Définition Soit une variété compacte et différentiable avec une métrique riemannienne et une structure spin Spinc avec un faisceaux de spineurs associés et un faisceau déterminant .
Pour une 2-forme auto-duale générique , l'espace des solutions des équations de Seiberg-Witten perturbées est une variété compacte et orientable de dimension
.
Le groupe de jauge et son sous-groupe opèrent sur . L' espace quotient est un - faisceau de fibres principal sur . Soit sa classe d'Euler.
Si est impair, alors la dimension de un nombre pair . On définit alors
.
Pour , cet invariant ne dépend pas de et et est appelé linvariant de Seiberg-Witten .
Propriétés Dans ce qui suit, est impair et . Une classe de cohomologie est appelée classe de base si elle a une structure spinc avec et .
Si est un difféomorphisme préservant l'orientation, alors . Pour chaque classe de base on a . Pour la structure duale spinc , on a . n'a qu'un nombre fini de classes de base. Si a une métrique de courbure scalaire positive, alors pour tous . Si pour des 4-variétés compactes, orientables et lisses avec , alors pour tous . Si et si, pour une structure de spinc avec , on a l'inégalité alors . Pour une surface plongée, compacte et orientable du genre , on a pour chaque classe de base . Si est une variété symplectique avec une structure de spinc canonique , alors .
Notes et références
Bibliographie
. . . Liens externes Dietmar Salamon : Spin geometry and Seiberg-Witten invariant
Catégorie:Topologie différentielle