En mathématiques, la formule du pion est une relation entre coefficients binomiaux.
Elle a de nombreuses autres appellations : formule du capitaine, formule du chef, formule (du) comité-président, identité (ou formule) d'absorption, etc.
Énoncé Soit un entier naturel non nul et soit un entier tel que . La formule du pion s'écrit : . vignette
Explication des appellations Cette relation est dénommée « formule du pion » du fait de l'analogie entre sa situation dans le triangle de Pascal et le mouvement d'un pion dans le jeu d'échecs. En effet, lorsqu’un pion attaque un pion adverse, il se déplace d’une case en diagonale (par exemple depuis la case située à l’intersection de la ligne – 1 et de la colonne – 1 vers celle située à l’intersection de la ligne et de la colonne ).
L'appellation « formule du capitaine » (de même « pour formule du chef » ou « formule (du) comité-président ») vient de la démonstration par dénombrement donnée ci-dessous si l'on représente comme une équipe de joueurs choisis parmi et comme le capitaine de cette équipe.
La formule du pion est appelée « identité d'absorption » dans le livre Concrete Mathematics., de par sa propriété d'absorption d'une variable nuisible dans une somme.
Démonstrations
Démonstration utilisant la formule explicite des coefficients binomiaux On a
Démonstration utilisant la formule du binôme
Le polynôme se développe en , donc .
Mais on a aussi , d'où la formule par identification des coefficients.
Démonstration combinatoire
Soit un ensemble à éléments ; on cherche à déterminer le nombre de couples (, ) où est une partie de à éléments et un élément de .
On peut commencer par choisir une partie de à éléments ( choix possibles) puis on choisit parmi les éléments de ( choix possibles) donc le nombre de choix possibles est égal à . On peut commencer à choisir parmi les éléments de ( choix possibles) puis on choisit – 1 éléments parmi les – 1 éléments de restants ( choix possibles), donc le nombre de choix possibles est égal à .
On a donc bien .
Plus généralement, si on dénombre de deux façons les couples (, ) où est une partie de à éléments et partie de à éléments, on obtient la relation
qui redonne la formule du pion pour = 1.
Exemples d'applications
Écrite sous la forme elle permet un calcul récursif des coefficients binomiaux. Cette formule peut être utile pour éliminer un paramètre dans des calculs de sommes, comme par exemple : en effectuant une translation d'indice puis utilisant la formule du binôme de Newton (ou la somme d'une ligne du triangle de Pascal), plus généralement , espérance de la loi binomiale , l'itération de la formule du pion qui permet d'obtenir ainsi que les moments factoriels de la loi binomiale, . L'écriture de la formule : montre, par le lemme de Gauss, que lorsque et sont premiers entre eux, est un multiple de . En particulier, lorsque est un nombre premier , les coefficients binomiaux non extrêmes de la ligne du triangle de Pascal sont multiples de . Cette dernière propriété est même caractéristique des nombres premiers (voir Coefficient_binomial, Diviseurs_et_coefficients_binomiaux).
Voir aussi
Triangle de Pascal Formule d'itération de Pascal Q-analogue de la formule du pion
Notes et références
Catégorie:Triangle de nombres Catégorie:Coefficient binomial Catégorie:Combinatoire Catégorie:Échecs