vignette|Porisme de Poncelet pour les quadrilatères bicentriques et . En géométrie euclidienne, un quadrilatère bicentrique est un quadrilatère convexe possédant à la fois un cercle inscrit (tangent à ses quatre côtés) et un cercle circonscrit (passant par ses quatre sommets). Il découle de cette définition que les quadrilatères bicentriques ont les propriétés des quadrilatères circonscriptibles et celles des quadrilatères inscriptibles. Les autres appellations de ces quadrilatères sont "quadrilatères tangents à la corde". et "quadrilatères inscrits et circonscrits". Ils sont aussi plus rarement appelés quadrilatères à double cercle ou quadrilatères à double inscription..
Si deux cercles, l'un dans l'autre, sont le cercle inscrit et le cercle circonscrit d'un quadrilatère bicentrique, alors chaque point du cercle circonscrit est le sommet d'un quadrilatère bicentrique ayant le même cercle inscrit et le même cercle circonscrit.. Il s'agit d'un cas particulier du porisme de Poncelet, qui a été démontré par le mathématicien français Jean-Victor Poncelet (1788-1867).
Cas particuliers droite|vignette| Un cerf-volant droit. Des exemples de quadrilatères bicentriques sont donnés par les carrés (cas où les deux centres sont confondus), les cerfs-volants droits et les trapèzes circonscriptibles isocèles.
Caractérisations vignette| Un quadrilatère bicentrique ABCD et son quadrilatère de contact WXYZ Un quadrilatère convexe de côtés est bicentrique si et seulement si ses côtés opposés vérifient le théorème de Pitot pour les quadrilatères circonscriptibles et la propriété des quadrilatères inscriptible d'avoir des angles opposés supplémentaires ; soit,
Trois autres caractérisations concernent les points de contact du cercle inscrit avec les côtés. Si le cercle inscrit du quadrilatère circonscriptible est tangent aux côtés en respectivement, alors est également inscriptible si et seulement si l'une des trois conditions suivantes est réalisée :
est perpendiculaire à
(Théorème de Mowaffaq Hajja).
La première de ces trois conditions équivaut au fait que le quadrilatère de contact soit orthodiagonal.
Si sont respectivement les milieux de , alors le quadrilatère circonscriptible est aussi inscriptible si et seulement si le quadrilatère est un rectangle.
Selon une autre caractérisation, si est le centre d'un quadrilatère circonscriptible et les prolongements des côtés opposés se coupent en et , le quadrilatère est aussi inscriptible si et seulement si l'angle est droit.
Enfin, une autre condition nécessaire et suffisante pour qu'un quadrilatère circonscriptible soit inscriptible est que sa droite de Newton soit perpendiculaire à la droite de Newton de son quadrilatère de contact . (La droite de Newton d'un quadrilatère est la droite passant par les milieux des diagonales.)
Construction vignette|314x314px| Un quadrilatère bicentrique avec le quadrilatère de contact . Animation : voir ici Il existe une méthode simple pour construire un quadrilatère bicentrique :
On commence par le cercle inscrit de centre et de rayon , puis on trace deux cordes perpendiculaires [] et [] de ce cercle. À leurs extrémités, on trace les tangentes au cercle inscrit. Celles-ci se coupent en quatre points , qui sont les sommets d'un quadrilatère bicentrique. Pour tracer le cercle circonscrit, on trace les deux médiatrices des côtés , du quadrilatère bicentrique, Elles se coupent au centre du cercle circonscrit , à la distance du centre du cercle inscrit . Le cercle circonscrit peut être tracé à partir de son centre .
La validité de cette construction repose sur le fait que dans un quadrilatère circonscriptible , le quadrilatère de contact a ses diagonales perpendiculaires si et seulement si le quadrilatère circonscriptible est aussi inscriptible.
Aire
Formules d'aire en fonction de quatre paramètres L'aire d'un quadrilatère bicentrique peut être exprimée en fonction de quatre paramètres du quadrilatère de plusieurs manières différentes.
Si les côtés sont de longueurs , l'aire est donnée par.Durell, C. V. and Robson, A., Advanced Trigonometry, Dover, 2003, pp. 28, 30.Yiu, Paul, Euclidean Geometry, , 1998, pp. 158-164.
C'est un cas particulier de la formule de Brahmagupta. Cette formule peut également être obtenue directement à partir de la formule trigonométrique de l'aire d'un quadrilatère circonscriptible. Il faut remarquer que l'inverse n'est pas vrai : certains quadrilatères non bicentriques ont également une aire égale à . Le rectangle non carré constitue un exemple d'un tel quadrilatèreLord, Nick, "Quadrilaterals with area formula ", Mathematical Gazette 96, July 2012, 345-347..
L'aire peut également être exprimée à partir des quatre distances des points de contact aux sommets :
Une autre formule pour l'aire du quadrilatère bicentrique de centre de cercle inscrit est :
En fonction des longueurs des cordes joignant les points de contact et des longueurs des diagonales, l'aire est donnée par:
Si sont les longueurs des bimédianes du quadrilatère et définis précédemment, l'aire est
Cette formule ne peut pas être utilisée si le quadrilatère est un cerf-volant droit, le dénominateur étant nul dans ce cas.
Si sont les milieux des diagonales et les points d'intersection des extensions des côtés opposés, l'aire est donnée par
où est le centre du cercle inscrit.
Formules en fonction de trois paramètres L'aire d'un quadrilatère bicentrique peut être exprimée en fonction de deux côtés opposés et de l'angle entre les diagonales par
En fonction de deux angles adjacents et du rayon du cercle inscrit, l'aire est donnée par
L'aire est donnée en fonction du rayon du cercle circonscrit et de celui du cercle inscrit par
où est l'un ou l'autre des angles entre les diagonales.
Si sont les milieux des diagonales et sont les points d'intersection des extensions des côtés opposés, alors l'aire peut également être exprimée par
où est le pied de la perpendiculaire à la droite () passant par le centre du cercle inscrit.
Inégalités Si et sont respectivement le rayon du cercle inscrit et celui du cercle circonscrit, alors l'aire vérifie les inégalités
Il n'y a égalité de part et d'autre que si le quadrilatère est un carré.
Une autre inégalité pour l'aire estInequalities proposed in Crux Mathematicorum, 2007.
Une inégalité similaire donnant une borne supérieure plus nette pour l'aire que la précédente est
avec égalité si et seulement si le quadrilatère est un cerf-volant droit.
De plus, notant le demi-périmètre :
Formules d'angles Si sont respectivement les longueurs des côtés d'un quadrilatère bicentrique , ses angles aux sommets s'expriment à l'aide de la fonction tangente :
En utilisant les mêmes notations, à l'aide des fonctions sinus et cosinus, on obtient :
L'angle entre les diagonales peut être calculé à partir de
Rayon des cercles inscrit et circonscrit Le rayon du cercle inscrit d'un quadrilatère bicentrique est déterminé par les côtés par
Le rayon du cercle circonscrit est donné comme un cas particulier de la formule de Parameshvara:
Le rayon du cercle inscrit peut également être exprimé en fonction des quatre distances des points de contact aux sommets parM. Radic, Z. Kaliman, and V. Kadum, "A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one", Mathematical Communications, 12 (2007) 33–52.
Ces deux formules sont en fait des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un quadrilatère circonscriptible de rayon soit inscriptible.
Les quatre côtés d'un quadrilatère bicentrique sont les quatre solutions de l'équation de degré 4
où est le demi-périmètre, et et sont respectivement les rayons des cercles inscrit et circonscritPop, Ovidiu T., "Identities and inequalities in a quadrilateral", Octogon Mathematical Magazine, Vol. 17, No. 2, October 2009, pp 754-763. .
S'il existe un quadrilatère bicentrique de rayon dont les quatre distances des points de contact aux sommets sont , alors il existe un quadrilatère bicentrique de rayon dont les distances de contact sont où est un nombre réel quelconqueRadic, Mirko, "Certain inequalities concerning bicentric quadrilaterals, hexagons and octagons", Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Volume 6, Issue 1, 2005..
Un quadrilatère bicentrique a un rayon de cercle inscrit plus grand que tout autre quadrilatère circonscriptible ayant la même suite de longueurs de côtés.
Inégalités Le rayon du cercle circonscrit et celui du cercle inscrit satisfont à l'inégalité
qui a été prouvé par L. Fejes Tóth en 1948. L'égalité n'est atteinte que lorsque les deux cercles sont concentriques (ont le même centre), soit lorsque le quadrilatère est un carré. L'inégalité peut être prouvée de plusieurs manières différentes, l'une utilisant la double inégalité pour l'aire vue ci-dessus.
Une extension de l'inégalité précédente estShattuck, Mark, “A Geometric Inequality for Cyclic Quadrilaterals”, Forum Geometricorum 18, 2018, 141-154. This paper also gives various inequalities in terms of the arc lengths subtended by a cyclic quadrilateral’s sides.
où il y a égalité de chaque côté si et seulement si le quadrilatère est un carré.
Le demi-périmètre d'un quadrilatère bicentrique satisfait
De plus,
et
Distance entre les centres du cercle inscrit et du cercle circonscrit vignette| Un quadrilatère bicentrique de centre du cercle inscrit I et de centre du cercle circonscrit O.
Théorème de Fuss Le théorème de Fuss donne une relation entre le rayon du cercle inscrit , le rayon du cercle circonscrit et la distance entre le centre du cercle inscrit et le centre du cercle circonscrit , pour tout quadrilatère bicentrique. La relation de Fuss est
ou de manière équivalente
, ou encore .
Elle a été établie par Nicolas Fuss (1755–1826) en 1792. La résolution en donne
Par exemple, pour , .
La relation de Fuss, qui est l'analogue de la relation d'Euler dans le triangle pour le quadrilatère bicentrique, dit que si un quadrilatère est bicentrique, ses deux cercles associés sont liés par cette relation. En fait, la réciproque est également vraie : étant donné deux cercles (l'un dans l'autre) de rayons et et de distance entre leurs centres satisfaisant la condition du théorème de Fuss, il existe un quadrilatère convexe inscrit dans l'un d'eux et tangent à l'autre (puis, par le grand théorème de Poncelet, il en existe une infinité).
Il existe des relations similaires pour les polygones bicentriques quelconques.
Écrire dans l'expression de la relation de Fuss est une autre façon d'obtenir l'inégalité mentionnée ci-dessus Une généralisation est
Identité de Carlitz Une autre formule pour la distance entre les centres du cercle inscrit et du cercle circonscrit est due au mathématicien américain Leonard Carlitz (1907–1999). Il obtient queCalin, Ovidiu, Euclidean and Non-Euclidean Geometry a metric approach, pp. 153–158.
avec
où sont les longueurs des côtés du quadrilatère bicentrique.
Inégalités Les longueurs vérifient les inégalités suivantes :
et
Les longueurs des côtés vérifient les inégalités :
et
Autres propriétés du centre du cercle inscrit Le centre du cercle circonscrit, le centre du centre inscrit et le point d'intersection des diagonales d'un quadrilatère bicentrique sont alignésBogomolny, Alex, Collinearity in Bicentric Quadrilaterals, 2004..
On a l'égalité suivante reliant les quatre distances entre le centre et les sommets d'un quadrilatère bicentrique L. V. Nagarajan, Bi-centric Polygons, 2014, . :
Si est le point d'intersection des diagonales d'un quadrilatère bicentrique de centre , alorsCrux Mathematicorum 34 (2008) no 4, p. 242.
Une inégalité concernant les rayons du cercle inscrit et celui du cercle circonscrit dans un quadrilatère bicentrique estPost at Art of Problem Solving, 2009
Propriétés des diagonales