Le théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki est un résultat de compacité en analyse fonctionnelle, dû à Stefan Banach dans le cas d'un espace vectoriel normé séparable. et généralisé en 1938 par Leonidas Alaoglu puis Nicolas BourbakiL'affirmation par Dieudonné de l'antériorité de Bourbaki sur Alaoglu est reprise par divers auteurs mais fermement contestée dans ..

Si E est un ℝ-espace vectoriel topologique et V un voisinage de 0, alors l'ensemble polaire V° de V, défini par

est une partie compacte du dual topologique E' pour la topologie faible-*.

Dans le cas où E est un espace vectoriel normé, cela revient à dire que la boule unité fermée de E' (pour la norme de la topologie forte) est *-faiblement compacte, ou encore, que toute partie de E' fortement bornée est *-faiblement relativement compacte.

Dans un espace de Banach réflexif (en particulier un espace de Hilbert), la topologie faible-* coïncide avec la topologie faible et toute suite bornée admet une sous-suite faiblement convergente.

Démonstration Le dual topologique E''', muni de la topologie faible-*, est un sous-espace du produit ℝ.

Dans ce produit, V° est inclus dans un produit de segments (car V est absorbant) donc dans un compact (d'après le théorème de Tychonoff dans le cas séparé — équivalent à une version affaiblie de l'axiome du choix).

Enfin, V° est fermé, comme intersection des fermés F qui définissent la linéarité d'un élément de ℝ :

et des fermés G qui imposent les contraintes sur V :

En effet, une forme linéaire sur E qui vérifie ces contraintes est automatiquement continue, car bornée sur le voisinage V de 0.

Version séquentielle Si un espace vectoriel normé E est séparable alors la boule unité B de son dual topologique (munie de la topologie faible-*) est métrisable donc sa compacité équivaut à sa compacité dénombrable et à sa compacité séquentielle. On peut démontrer directement cette dernière de façon plus élémentaire :

Si E n'est pas séparable, le compact B peut ne pas être séquentiellement compact : un contre-exemple est fourni par E'' = ℓ = C(βℕ).

Notes et références

Voir aussi Articles connexes

Théorème d'Eberlein-Šmulian Théorème de Goldstine Théorème de sélection de Helly Théorème de James Dual d'un espace vectoriel topologique

Liens externes Applications du théorème de Tykhonov aux espaces vectoriels normés sur le site les-mathematiques.net

Bibliographie

Catégorie:Espace vectoriel topologique Catégorie:Espace de Hilbert Banach-Alaoglu Banach-Alaoglu