En mathématiques, l'intégrale de Riemann-Liouville associe à une fonction réelle une autre fonction de même nature pour chaque valeur du paramètre . L'intégrale est une manière de généraliser la primitive répétée de en ce sens que pour des valeurs entières positives de , est une primitive itérée de d'ordre . L'intégrale de Riemann-Liouville porte le nom de Bernhard Riemann et Joseph Liouville, ce dernier étant le premier à envisager la possibilité du calcul fractionnaire en 1832.. L'opérateur s'accorde avec la transformée d'Euler, d'après Leonhard Euler, lorsqu'elle est appliquée aux fonctions analytiques.. Elle a été généralisée à des dimensions arbitraires par Marcel Riesz, qui a introduit le potentiel de Riesz.

Définition L'intégrale de Riemann-Liouville est définie par

où est la fonction gamma et est un point de base arbitraire mais fixe. L'intégrale est bien définie pourvu que soit une fonction localement intégrable, et soit un nombre complexe dans le demi-plan . La dépendance au point de base est souvent supprimée, et représente une liberté en constante d'intégration. Il est clair que est une primitive de (du premier ordre), et pour des valeurs entières positives de , est une primitive d'ordre par la formule de Cauchy pour l'intégration successive. Une autre notation, qui met l'accent sur le point de base, est.:

Cela a également un sens si , avec des restrictions appropriées sur .

Les relations fondamentales suivantes sont vérifiées :

où la deuxième est une propriété de semi-groupe. Ces propriétés permettent non seulement de définir l'intégration fractionnaire, mais aussi la dérivation fractionnaire, en prenant suffisamment de dérivées de .

Propriétés On fixe un intervalle borné . L'opérateur associe à chaque fonction intégrable sur la fonction sur qui est également intégrable par le théorème de Fubini. Ainsi définit un opérateur linéaire sur :

Le théorème de Fubini montre également que cet opérateur est continu par rapport à la structure de l'espace de Banach sur , et que l'inégalité suivante est vérifiée :

Ici désigne la norme sur .

Plus généralement, d'après l'inégalité de Hölder, il s'ensuit que si , alors également, et l'inégalité analogue est vraie :

où est la norme sur l'intervalle (a, b ) . On a donc un opérateur linéaire borné . De plus, au sens comme le long de l'axe réel. C'est-à-dire

pour tout . De plus, en estimant la de , on peut montrer que la limite est vraie ponctuellement presque partout.

L'opérateur est bien défini sur l'ensemble des fonctions localement intégrables sur toute la droite réelle . Il définit une transformation bornée sur l'un des espaces de Banach des fonctions de type exponentielle constitué de fonctions localement intégrables dont la norme

est fini. Pour , la transformée de Laplace de prend la forme particulièrement simple

pour . Ici désigne la transformée de Laplace de , et cette propriété exprime que est un multiplicateur de Fourier.

Dérivées fractionnaires On peut également définir les dérivées d'ordre fractionnaire de par

où désigne la fonction partie entière par excès. On obtient également une différence intégrale interpolant entre différenciation et intégration en définissant

Une dérivée fractionnaire alternative a été introduite par , et produit une dérivée qui a des propriétés différentes : elle produit zéro à partir de fonctions constantes et, plus important encore, les termes de valeur initiale de la transformée de Laplace sont exprimés au moyen des valeurs de cette fonction et de sa dérivée d'ordre entier plutôt que les dérivées d'ordre fractionnaire comme dans la dérivée de Riemann-Liouville . La dérivée fractionnaire de Caputo de point de base , est alors :

Une autre représentation est :

Dérivée fractionnaire d'une fonction puissance de base droite|vignette|320x320px| La demi-dérivée (courbe violette) de la fonction (courbe bleue) avec la première dérivée (courbe rouge). droite|vignette|320x320px|L'animation montre l'opérateur dérivé oscillant entre la primitive ( : Supposons que soit un monôme de la forme

La dérivée première est comme d'habitude

Répéter l'opération donne le résultat plus général :

ce qui, après remplacement des factorielles par la fonction gamma, conduit à

Pour et , on obtient la demi-dérivée de la fonction par :

Pour démontrer qu'il s'agit en fait de la "demi-dérivée" (où ), on répète le processus pour obtenir :

(car et ) qui est bien le résultat attendu de

Pour une puissance entière négative , est nulle, il est donc intéressant d'utiliser la relation suivante :

Cette extension de l'opérateur différentiel ci-dessus n'a pas besoin d'être limitée uniquement aux puissances réelles, et peut s'appliquer également aux pouvoirs complexes. Par exemple, la -ième dérivée de la -ième dérivée donne la seconde dérivée. Définir également des valeurs négatives pour donne des intégrales.

Pour une fonction générale et , la dérivée fractionnaire complète est

Pour arbitraire, puisque la fonction gamma est infinie pour les entiers négatifs, il est nécessaire d'appliquer la dérivée fractionnaire après que la dérivée entière a été effectuée. Par exemple,

Transformation de Laplace On peut aussi venir à la question via la transformée de Laplace. Sachant que

et

et ainsi de suite, on a .

Par exemple,

comme prévu. En effet, étant donné la règle de convolution

et en raccourcissant pour plus de clarté, on trouve

ce qui revient au résultat obtenu par la formule de Cauchy donnée plus haut.

Exemples d'intégrales de Riemann-Liouville Fonctions puissances L'intégrale de Riemann-Liouville de est

Fonctions exponentielles L'intégrale de Riemann-Liouville de est

où désigne la fonction de Mittag-Leffler. En particulier, on a

où est la fonction de Dawson.

Remarques

Références . . . .

. .

Voir aussi Symbole d'un opérateur différentiel

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