En théorie des nombres, un nombre de Descartes est un nombre impair qui serait un nombre parfait impair, si l'un de ses diviseurs composés était considéré comme premier. Ces nombres portent le nom de René Descartes qui a observé que le nombre serait un nombre parfait impair si son diviseur était premier ; en effet, la somme de ses diviseurs serait égale à son double :
Mais 22 021 est composé ().
Un nombre de Descartes est donc défini comme étant un nombre impair où et sont premiers entre eux, non premier et ; en effet, si était premier, on aurait .
Exemples Excepté le cas , l'exemple donné ci-dessus est le seul exemple non trivial connu actuellement.
Si est un nombre impair presque parfait, c'est-à-dire si , alors est un nombre de Descartes pour le faux nombre premier ; en effet, . Si était premier, serait un nombre parfait impair.
Mais actuellement, les seuls nombres presque parfaits connus sont les puissances de 2 ; le seul nombre impair presque parfait connu est donc le nombre 1, ce qui redonne l'exemple trivial de nombre de Descartes égal à 1.
Propriétés
Un nombre de Descartes est forcément abondant puisque la vraie valeur de est strictement supérieure à et .
Banks et al. ont montré en 2008 que si est un nombre de Descartes sans cube et non multiple de , a plus d'un million de diviseurs premiers distincts.
Généralisations John Voight a généralisé les nombres de Descartes en autorisant les nombres négatifs. Il a trouvé l'exemple où, si l'on suppose , on obtient . Des mathématiciens de l'Université Brigham-Young ont obtenu d'autres exemples similaires à celui de Voight ..
Articles connexes Les nombres d'Erdős-Nicolas, autre type de nombres presque parfaits. La qui donne les "spoof perfect numbers", nombres (pairs ou impairs) non parfaits, qui seraient parfaits si l'un (ou plusieurs) de leurs diviseurs composés était considérés comme premiers.
Références
Bibliographie
Catégorie:Propriété arithmétique