En algèbre commutative, dans un anneau (commutatif) intègre, un élément est dit irréductible s'il n'est ni inversible, ni produit de deux éléments non inversibles. Il est dit premier s'il n'est ni nul ni inversible et si, pour tout produit divisible par , l'un des deux facteurs ou est divisible par . Tout élément premier est irréductible. Dans un anneau factoriel (comme l'anneau des entiers ou l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps), ces deux notions sont équivalentes.

Deux éléments et sont dits premiers entre eux si tout diviseur commun à et est inversible.

Introduction Dans l'anneau des entiers, il existe différentes caractérisations des nombres premiers et des nombres premiers entre eux qui, dans un anneau quelconque, conduisent à trois couples de notions différentes. Dans la suite, est un anneau intègre et sont des éléments de . Un idéal de est dit propre s'il est différent de . La notation désigne l'idéal principal engendré par (c'est-à-dire l'ensemble des multiples de ).

Éléments premiers entre eux et élément irréductible

On dit que et b sont premiers entre eux ou que est premier avec si tout diviseur commun à et est inversible, .Si l'un des deux éléments a, b est nul, cette condition équivaut à l'inversibilité de l'autre. , appelle « étrangers » ce que nous appelons ici « premiers entre eux ».. Conditions équivalentes : le PGCD de et (existe et) est inversible ; l'idéal n'est inclus dans aucun idéal principal propre de .

Probablement par influence des polynômes, la notion suivante n'est pas baptisée « élément premier », mais « élément irréductible » :

On dit que est irréductible s'il est non nul, non inversible, et premier avec tout élément qu'il ne divise pas, démontre que les trois conditions ci-dessous sont équivalentes à celle-ci, mais en oubliant souvent de préciser « non inversible »..

Conditions équivalentes : n'est ni inversible, ni produit de deux éléments non inversibles. ; n'est ni nul ni inversible, et ses seuls diviseurs sont les inversibles et les éléments associés à , Définition 57.., appelle « extrémal » ce que nous appelons ici « irréductible ». , fait de même mais optionnellement : . ; est non nul, et maximal dans l’ensemble des idéaux principaux propres de .

Éléments indissolubles entre eux et élément premier

Lorsque et sont non nuls, on dit qu'ils sont si pour tout élément de ,

si divise alors divise .

Conditions équivalentes (d'après les deux dernières, cette notion est donc symétrique en et ) : est simplifiable (ou : non diviseur de 0) dans l'anneau quotient ; tout multiple de et est multiple de ; le PPCM de et (existe et) est égal au produit . La définition correspondante est alors :

est dit premier s'il est non nul, non inversible, et indissoluble avec tout élément qu'il ne divise pas.

Conditions équivalentes : n'est ni nul ni inversible, et pour tout produit divisible par , l'un des facteurs ou est divisible par ; est non nul et est intègre ; (p) est un idéal premier non nul de .

Éléments étrangers et élément extrémal

La notion d'éléments étrangers correspond à la caractérisation des nombres premiers entre eux par le théorème de Bachet-Bézout.

On dit que et sont étrangers s'il existe des éléments et de tels que , condition qui s'écrit aussi sous la forme .

La définition correspondante est alors :

On dit que est

Conditions équivalentes : est non nul et non inversible, et tout élément de non multiple de p est inversible modulo p ; (p) est un idéal maximal non nul de ; est non nul et est un corps.

Liens entre ces trois notions étrangers ⇒ indissolubles entre eux ⇒ premiers entre euxLa définition ci-dessus de « indissolubles entre eux » est restreinte au cas où les deux éléments sont non nuls, mais on peut rendre vraies ces deux implications en décrétant que si l'un des deux éléments a, b est nul, alors ils sont indissolubles entre eux si et seulement si l'autre est inversible.. Supposons a et b non nuls. Si a et b sont étrangers alors ils sont indissolubles entre eux : la preuve classique pour les entiers fonctionne en fait pour n'importe quel anneau commutatif. Si a et b sont indissolubles entre eux alors ils sont premiers entre eux : plus généralement, si m est un PPCM de a et b alors ab/m est un pgcd de a et b (la preuve pour les entiers proposée dans l'article Plus petit commun multiple fonctionne en fait pour n'importe quel anneau intègre).

extrémal ⇒ premier ⇒ irréductible. Ces deux implications se déduisent immédiatement des deux précédentes. Leurs réciproques sont fausses (donc les réciproques des deux précédentes sont également fausses) : désignant un corps commutatif, dans et dans , est premier mais non extrémal (en fait ces deux anneaux ne contiennent aucun élément extrémal) ;

dans le sous-anneau de , l'élément est irréductible mais non premier (il divise mais pas ) ; dans pour tout entier non carré, est irréductible (vu sa norme) mais non premier, . (il divise soit , soit , selon la parité de …). Dans un anneau à PGCD (anneau où tout couple d'éléments possède un PGCD), et donc en particulier dans un anneau factoriel, premiers entre eux équivaut à indissolubles entre eux (donc irréductible équivaut à premier). Dans un anneau de Bézout (anneau intègre à PGCD vérifiant l'identité de Bézout), et donc en particulier dans un anneau principal (comme ou ), premiers entre eux implique même étrangers, donc les trois notions (étrangers, indissolubles entre eux, premiers entre eux) sont équivalentes (si bien que irréductible équivaut à premier équivaut à extrémal).

Notes et références Notes

Références

Articles connexes Factorisation des polynômes Théorèmes d'existence d'une infinité d'irréductibles

Catégorie:Algèbre commutative