En statistique, le système de Johnson est une famille de fonctions conçues pour modéliser une loi de probabilités à partir de tirages aléatoires, définie par N. L. Johnson en 1949. Chacun des trois sous-types est caractérisé par quatre paramètres.

Utilisation L'idée de Johnson est de trouver le modèle le plus adapté à partir des quatre premiers moments d'un échantillon (espérance, variance, asymétrie et kurtosis), en transformant la variable aléatoire qu'on souhaite modéliser par la transformation :

où suit la loi normale standard. Les valeurs et servent donc conjointement de paramètres de position et d'échelle, tandis que caractérise l'asymétrie et , la kurtosis.

Johnson propose trois transformations: une transformation bornée par la fonction logit, qu'il note S (pour ) :

une transformation par la fonction logarithme qu'il note S (pour ) :

une transformation par la fonction sinus hyperbolique non bornée qu'il note S (pour ) :

La loi normale est parfois incluse dans le système de Johnson, notée S.

Distribution de Johnson Support borné : lois S

N. L. Johnson a d'abord proposé la transformation:

où .

La loi SB de Johnson peut être générée à partir d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme continue U par :

On reconnait la forme d'une fonction logistique.

Version bivariée : lois S

Johnson a étendu la loi S en une version bivariée, notée S. La densité de la loi est

où et suivent chacun une loi S, et la mesure de dépendance entre les deux variables..

Support semi-infini : lois SL

N. L. Johnson a d'abord proposé la transformation:

où .

La loi SL de Johnson peut être générée à partir d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme continue U par :

La loi SB convient pour modéliser les lois platikurtiques.

Support infini : lois SU

Les lois SU de Johnson se basent sur la transformation de la loi normale suivante:

où .

La loi SU de Johnson peut être générée à partir d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme continue U par :

Identification du type Afin d'identifier le type de lois de Johnson à partir du tirage, il y a plusieurs méthodes, la plus simple étant la méthode des moments qui se base surtout sur les moments d'ordre 3 et 4. Par exemple, pour une loi S, ces moments valent:

Ainsi, toute loi de Johnson vérifie .

D'autres moyens ont été développés, reposant sur la méthode d'adaptation des quantiles, la méthode des moindres carrés, ou des estimateurs statistiques.

Génération de variables aléatoires

Pour générer des tirages aléatoires suivant une loi de Johnson, on peut méthode de la transformée inverse : soit U une variable aléatoire uniforme continue sur l'intervalle unité [0; 1]. Les lois de Johnson peuvent alors être simulées par :

où est la fonction de répartition de la loi normale, et étant la fonction liée à la famille de lois voulue ( pour une loi S, pour une loi S, pour une loi S).

Applications Les lois S de Johnson ont été utilisées pour modéliser des rendements des actifs pour la gestion de portefeuille, mais aussi la tarification d'options, et estimer un ; voir arbre binomial de Johnson.

Une alternative au système de Johnson est le système de lois paramétrées par les quantiles (), plus souple pour l'adaptation de forme. Au lieu d'adapter les paramètres aux moments, le système de lois paramétrées par les quantiles vise à adapter la fonction de densité par moindres carrés.

Références

Sources

(Preprint)

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Voir aussi Ajustement de loi de probabilité Fonction de Pearson Système de Burr

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