vignette|162x162px| Émile Lemoine (1840-1912) En mathématiques, la géométrie moderne du triangle, ou nouvelle géométrie du triangle, est l'ensemble des connaissances relatives aux propriétés d'un triangle découvertes et développées environ depuis le début du dernier quart du . Les triangles et leurs propriétés ont fait l'objet de recherches depuis au moins l'époque d'Euclide. En fait, les éléments d'Euclide contiennent la description des quatre points spéciaux – centre de gravité, centre du cercle inscrit, centre du cercle circonscrit et orthocentre – associés à un triangle. Même si Pascal et Ceva au , Euler au et Feuerbach au et bien d'autres mathématiciens avaient fait d'importantes découvertes concernant les propriétés du triangle, ce fut la publication en 1873 d'un article d'Émile Lemoine (1840 –1912) avec le titre Sur un point remarquable du triangle qui était considéré comme ayant, selon Nathan Altschiller-Court, . LAmerican Mathematical Monthly, dans lequel une grande partie des travaux de Lemoine est publiée, a déclaré : . La publication de cet article a provoqué un remarquable regain d'intérêt pour l'étude des propriétés du triangle au cours du dernier quart du et des premières années du . Un article d'une centaine de pages sur la géométrie des triangles dans l'Encyclopédie des Sciences mathématiques publié en 1914 témoigne de ce regain d'intérêt pour la géométrie du triangle.
Au début, l'expression « nouvelle géométrie du triangle » désignait uniquement l'ensemble des objets intéressants associés à un triangle comme le point de Lemoine, le cercle de Lemoine, le cercle de Brocard et la droite de Lemoine. Plus tard, la théorie des correspondances qui était une émanation de la théorie des transformations géométriques a été développée pour donner une cohérence aux différents résultats isolés. Avec son développement, l'expression « nouvelle géométrie du triangle » désignait non seulement les nombreux objets remarquables associés à un triangle mais aussi les méthodes utilisées pour étudier et classer ces objets. Voici une définition de la géométrie du triangle de 1887 : .
Cependant, cette escalade d'intérêt s'est rapidement effondrée et la géométrie du triangle a été complètement négligée jusqu'aux dernières années du . Dans son Development of Mathematics, Eric Temple Bell offre ainsi son jugement sur le statut de la géométrie triangulaire moderne en 1940 : . Philip Davis a suggéré plusieurs raisons pour le déclin de l'intérêt pour la géométrie du triangle, notamment :
le sentiment que le sujet est élémentaire et de faible statut professionnel ; l'épuisement de ses possibilités méthodologiques ; la complexité visuelle des soi-disant résultats plus profonds du sujet ; la dépréciation progressive du visuel au profit de l'algébrique ; le manque de connexions avec d'autres domaines ; la concurrence avec d'autres sujets à fort contenu visuel comme les pavages, les fractales, la théorie des graphes, etc.
Un nouveau regain d'intérêt a été observé avec l'avènement de l'ordinateur moderne. La géométrie du triangle est redevenue un domaine de recherche actif poursuivi par un groupe de géomètres dédiés. Comme incarnation de ce renouveau, on peut citer la formulation du concept de « Centre du triangle » et la compilation par Clark Kimberling d'une encyclopédie des centres de triangle contenant une liste de près de centres de triangle et leurs propriétés et aussi la compilation d'un catalogue de cubiques du triangle avec des descriptions détaillées de plusieurs propriétés de plus de cubiques triangulaires. La revue en libre accès Forum Geometricorum fondée par Paul Yiu de la Florida Atlantic University en 2001 a également donné un grand élan à ce nouvel enthousiasme pour la géométrie des triangles. Cependant, depuis 2019, la revue n'accepte plus les soumissions, bien que les anciens numéros soient toujours disponibles en ligne.
La géométrie de Lemoine
Point de Lemoine Pour un triangle ABC de centre de gravité G donné, la symédiane passant par le sommet est la symétrique de la droite AG par rapport à la bissectrice intérieure de l'angle au sommet A. Il y a trois symédianes pour un triangle passant par chaque sommet. Les trois symédianes sont concourantes et le point de concours, couramment noté K, est appelé le point de Lemoine ou le point symédian ou le point de Grèbe du triangle ABC. Si les longueurs des côtés du triangle ABC sont respectivement notés , , les coordonnées barycentriques du point de Lemoine sont . Il a été décrit comme . Il existe plusieurs références antérieures à ce point dans la littérature mathématique dont les détails sont disponibles dans l'histoire du point symédian de John Mackay.
En fait, la concourance des symédianes est un cas particulier d'un résultat plus général : pour tout point P du plan du triangle ABC, les isogonales des droites AP, BP, CP sont concourantes, l'isogonale de AP (respectivement BP, CP) étant la symétrique de la droite AP par rapport à la bissectrice de l'angle en A (respectivement B, C). Le point de concours est appelé le conjugué isogonal de P. Dans cette terminologie, le point de Lemoine est le conjugué isogonal du centre de gravité du triangle.
Cercles de Lemoine Les points d'intersection des droites passant par le point de Lemoine d'un triangle ABC parallèles aux côtés du triangle se trouvent sur un cercle appelé le premier cercle de Lemoine du triangle ABC. Le centre du premier cercle de Lemoine se situe à mi-chemin entre le centre circonscrit et le point de Lemoine du triangle.
Les points d'intersection des antiparallèles aux côtés du triangle ABC passant par le point de Lemoine d'un triangle ABC se trouvent sur un cercle appelé deuxième cercle de Lemoine ou cercle cosinus du triangle ABC. Le nom de « cercle cosinus » est dû à la propriété du deuxième cercle de Lemoine que les longueurs des segments interceptés par le cercle sur les côtés du triangle sont proportionnelles aux cosinus des angles opposés aux côtés. Le centre du deuxième cercle de Lemoine est le point de Lemoine.
Axe de Lemoine Tout triangle ABC et son triangle tangentiel sont en homologie et l'axe de l'homologie est appelé axe de Lemoine du triangle ABC. C'est la polaire trilinéaire du point symédian du triangle ABC et aussi la polaire de K par rapport au cercle circonscrit du triangle ABC.
Prémices de la géométrie du triangle moderne Un rapide coup d'œil dans le monde de la géométrie du triangle moderne tel qu'elle existait lors du pic d'intérêt pour la géométrie du triangle après la publication de l'article de Lemoine est présenté ci-dessous. Cette présentation est largement basée sur les sujets abordés dans le livre de William Gallatly, publié en 1910, et le livre de Roger A Johnson publié pour la première fois en 1929.
Triangles poristiques Deux triangles sont dits poristiques s'ils ont le même cercle inscrit et le même cercle circonscrit. Étant donné un cercle de centre O et de rayon R et un autre cercle de centre I et de rayon r, il existe une infinité de triangles ABC avec le cercle O(R) comme cercle circonscrit et I(r) comme cercle si et seulement si . Ces triangles forment un système poristique de triangles. Les lieux de certains points particuliers comme le centre de gravité, car le triangle de référence trace les différents triangles poristiques avec lui, se révèlent être des cercles et des points. Ce résultat est un cas particulier du porisme de Poncelet.
Droite de Simson Pour tout point P sur le cercle circonscrit du triangle ABC, les pieds des perpendiculaires de P aux côtés du triangle ABC sont colinéaires et la ligne de colinéarité est la bien connue droite de Simson de P.
Triangles podaire et antipodaire Étant donné un point P, soit D, E, F les pieds des perpendiculaires de P aux côtés du triangle ABC. Le triangle DEF est appelé triangle podaire de P. Le triangle antipodaire de P est le triangle formé par les droites passant par A, B, C perpendiculaires respectivement à PA, PB, PC. Deux points P et Q sont appelés contre-points si le triangle podaire de P est homothétique au triangle antipodaire de Q et le triangle podaire de Q est homothétique au triangle antipodaire de P.
Orthopôle Étant donné toute droite l, soit P, Q, R les pieds des perpendiculaires des sommets A, B, C du triangle ABC à l . Les droites passant par P. Q, R perpendiculaires respectivement aux côtés BC, CA, AB sont concourantes et le point de concours est l'orthopôle de la droite l par rapport au triangle ABC. Dans la géométrie du triangle moderne, il existe un grand nombre d'ouvrages traitant des propriétés des orthopôles.
Points de Brocard Soit des cercles décrits sur les côtés BC, CA, AB du triangle ABC dont les segments externes contiennent respectivement les deux triplets d'angles C, A, B et B, C, A. Chaque triplet de cercles déterminé par un triplet d'angles se croise en un point commun donnant ainsi deux de ces points. Ces points sont appelés les points de Brocard du triangle ABC et sont généralement notés . Si P est le premier point de Brocard (qui est le point de Brocard déterminé par la première triade de cercles) alors les angles PBC, PCA et PAB sont égaux entre eux et l'angle commun est appelé l'angle de Brocard du triangle ABC et est communément noté par . L'angle de Brocard est donné par
Les points de Brocard et les angles de Brocard ont plusieurs propriétés intéressantes.
Quelques illustrations
Géométrie du triangle moderne contemporaine
Centre du triangle L'une des idées les plus importantes qui a émergé lors du regain d'intérêt pour la géométrie du triangle au cours des dernières années du est la notion de centre du triangle. Ce concept introduit par Clark Kimberling en 1994 unifiait en une seule notion les très nombreux points particuliers et remarquables associés à un triangle. Depuis l'introduction de cette idée, presque aucune discussion sur un résultat associé à un triangle n'est complète sans une discussion sur la façon dont le résultat se connecte aux centres du triangle.
Définition du centre du triangle Une fonction à valeurs réelles de trois variables réelles , , peut avoir les propriétés suivantes :
Homogénéité : pour une constante et pour tout . Bisymétrie dans les deuxième et troisième variables : .
Si un f non nul a ces deux propriétés, on l'appelle une fonction centrale du triangle. Si f est une fonction centrale et , , sont les longueurs des côtés d'un triangle de référence alors le point dont les coordonnées trilinéaires sont est appelé un centre du triangle.
Clark Kimberling maintient un site web consacré à un recueil de centres triangulaires. LEncyclopedia of Triangle Centers contient des définitions et des descriptions de près de centres de triangle.
Droite centrale Une autre notion unificatrice de la géométrie triangulaire moderne contemporaine est celle d'une droite centrale. Ce concept unifie les plusieurs lignes droites spéciales associées à un triangle. La notion de droite centrale est également liée à la notion de centre de triangle.
Définition de droite centrale Soit ABC un triangle plan et soit soit les coordonnées trilinéaires d'un point arbitraire dans le plan du triangle ABC.
Une droite dans le plan du triangle ABC dont l'équation en coordonnées trilinéaires a la forme
où le point de coordonnées trilinéaires est un centre du triangle, est une droite centrale dans le plan du triangle ABC par rapport au triangle ABC.
Construction géométrique de la droite centrale vignette|300x300px|Construction de la droite centrale liée à un point X pour un triangle ABC Soit X un centre du triangle quelconque d'un triangle ABC.
On trace les droites AX, BX et CX et leurs images par réflexions par rapport aux bissectrices internes des angles aux sommets A, B, C respectivement. Les droites images sont concourantes et le point de concours Y est le conjugué isogonal de X.