En théorie des groupes, un domaine des mathématiques, une double classe est une partie d'un groupe de la forme..
où et sont deux sous-groupes d'un groupe et est un élément de . On dit alors plus précisément que est la double classe de selon ou sa -double classe.
Lorsque , elle est appelée la -double classe de . De façon équivalente, est la classe d'équivalence de pour la relation d'équivalence
s'il existe dans et dans tel que .
L'ensemble de toutes les doubles classes est noté .
Propriétés Soit un groupe et soient et des sous-groupes de . On les fait agir respectivement par multiplication à gauche et à droite sur . Comme les actions commutent, cela donne lieu à une action du produit : l'action est définie pour dans et dans par . Alors les -doubles classes de sont exactement les orbites de cette action. De nombreuses propriétés de base des doubles classes découlent immédiatement de ce fait. Cependant, comme est un groupe et que et sont des sous-groupes agissant par multiplication, les doubles classes ont plus de structures et de propriétés que les orbites d'actions de groupe générales.
Deux doubles classes et sont soit disjointes, soit identiques. est la réunion disjointe de ses doubles classes. Il existe une bijection entre les deux ensembles de doubles classes et , l'application qui à associe pour dans . Si , alors . Si , alors . Une double classe est une réunion de classes à droite suivant et de classes à gauche suivant ; plus précisément,
L'ensemble des -doubles classes est en bijection avec l'ensemble des orbites de dans le quotient , et aussi avec l'ensemble des orbites de dans le quotient ; les bijections son respectivementt les applications et . Si est distingué, alors est un groupe, ainsi que , et l'action à droite de sur ce groupe se factorise par l'action à droite de . Il en résulte que . De même, si est distingué, alors . Si est un sous-groupe dinstingué de , alors les -doubles classes sont en bijection avec les classes à gauche (et à droite) suivant . On considère comme la réunion d'une -orbite de classes à droite suivant . Le stabilisateur de la classe par rapport à l'action droite de est . De même, le stabilisateur de la classe à gauche par rapport à l'action gauche de est . Il en résulte que le nombre de classes à droite suivant contenues dans est l'indice et le nombre de classes à gauche suivant contenus dans est l'indice . On a ainsi :
Si , et sont finis, on en déduit encore que
Pour dans fixé, soit le double stabilisateur : c'est un sous-groupe de . Puisque est un groupe, pour chaque dans il y a précisément un dans tel que , à savoir ; cependant, peut ne pas être dans . De même, pour chaque dans , il y a précisément un dans tel que , mais peut ne pas être dans . Le double stabilisateur peut donc être décrit comme
(Théorème du stabilisateur d'orbite) L'application orbitale de sur qui à l'élément associe la classe à gauche est bien définie et bijective. On en déduit que si , et sont finis, alors
(Lemme de Cauchy–Frobenius) Soit l'ensemble des éléments fixés par l'action de . Alors
En particulier, si , et sont finis, alors le nombre de doubles classes est égal au nombre moyen de points fixés par couple d'éléments du produit .
Il existe une description équivalente des doubles classes en termes de classes simples (à gauche ou à droite). On fait agir et tous les deux par multiplication à droite sur . Alors agit par multiplication à gauche sur le produit des quotients . Les orbites de cette action sont en bijection avec , via l'application qui envoie sur la double classe . En bref, c'est parce que toute -orbite admet des représentants de la forme , et le représentant n'est déterminé qu'à la multiplication à gauche par un élément de près. De même, agit par multiplication à droite sur , et les orbites de cette action sont en bijection avec le double quotient . Conceptuellement, cela identifie le double quotient avec l'espace des configurations relatives d'une classe suivant et d'une classe suivant . De plus, cette construction se généralise à n'importe quel nombre de sous-groupes. Étant donné des sous-groupes , l'espace de -multiclasses est l'ensemble des -orbites dans .
L'analogue du théorème de Lagrange pour les doubles classes est faux. Cela signifie que le cardinal d'une double classe n'est pas nécessairement un diviseur de l'ordre de . Par exemple, soit le groupe symétrique sur trois lettres, et soient et les sous-groupes cycliques engendrés par les transpositions et , respectivement. Si désigne l'identité, sa double classe est
Elle contient quatre éléments, et quatre ne divise pas six, l'ordre de . Il est également faux que différentes doubles classes ont la même taille. Avec le même exemple, la classe de est
qui a deux éléments et pas quatre.
Supposons cependant que soit distingué. Comme indiqué précédemment, dans ce cas, l'ensemble des doubles classes s'identifie au quotient . De même, si est normal, alors est le quotient . Les résultats standard sur les quotients à gauche et à droite impliquent alors les faits suivants.
pour tout dans . Autrement dit, toutes les doubles classes ont le même cardinal. Si est fini, alors . En particulier, et divisent .
Exemples
Soit le groupe symétrique, considéré comme permutations de l'ensemble . Considérons le sous-groupe qui fixe . Alors est formé de deux doubles classes. L'une est , et l'autre est pour toute permutation qui ne fixe pas . Cela contraste avec , qui a éléments , où pour tout . Soit le groupe , et soit le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures. Le double quotient est décrit par la décomposition de Bruhat de . Les doubles classes sont exactement les , où parcourt l'ensemble des matrices de permutation. Par exemple, si , alors (On peut préciser un peu : la première classe est et la deuxième est formée des matrices dont le coefficient d'indice est non nul.)
Produits dans le groupe abélien libre sur l'ensemble des doubles classes Soit un groupe et soient , et des sous-groupes. Sous certaines conditions de finitude, il existe un produit sur le groupe abélien libre engendré par les - et -doubles classes, à valeurs dans le groupe abélien libre engendré par les -doubles classes. Autrement dit, il existe une application bilinéaire
On suppose pour simplifier que est fini. Pour définir le produit, on réinterprète ces groupes abéliens libres en termes de l'algèbre de groupe de comme suit. Tout élément de est de la forme
où est une famille d'entiers indexés par les éléments de . Cet élément peut être interprété comme une fonction définie sur et à valeurs dans . Cette fonction peut être remontée via projection qui envoie à la double classe . Il en résulte une fonction de dans . Par construction, cette fonction est invariante à gauche sous et invariante à droite sous . L'élément correspondant de l'algèbre de groupe est
et cet élément est invariant par multiplication à gauche par et multiplication à droite par . Conceptuellement, cet élément est obtenu en remplaçant par les éléments qu'il contient, et la finitude de assure que la somme est toujours finie. Inversement, tout élément de qui est invariant à gauche sous et invariant à droite sous est le pullback d'une fonction sur . Les assertions analogues sont vraies pour et .
Lorsque les éléments de , et sont interprétés comme des éléments invariants de , alors le produit dont l'existence a été affirmée ci-dessus est précisément la multiplication dans . En effet, il est trivial que le produit d'un élément -invariant à gauche et d'un élément -invariant à droite est encore -invariant à gauche et -invariant à droite. La bilinéarité du produit découle immédiatement de la bilinéarité de la multiplication dans . Il s'ensuit également que si est un quatrième sous-groupe de , alors le produit de doubles classes suivant , et est associatif. Comme le produit dans correspond à la convolution des fonctions sur , ce produit est parfois appelé le produit de convolution.
Un cas particulier important est celui où . Dans ce cas, le produit est une fonction bilinéaire
Ce produit fait de un anneau associatif dont l'élément d' identité est la classe de la double classe triviale . En général, cet anneau n'est pas commutatif. Par exemple, si , alors l'anneau est l'algèbre de groupe , et une algèbre de groupe est un anneau commutatif si et seulement si le groupe sous-jacent est abélien.
Si est distingué, de sorte que les double classes s'identifient aux classes à gauche, alors le produit sur est le produit dans l'algèbre de groupe . En particulier, il s'agit de la convolution habituelle des fonctions sur . Dans ce cas, l'anneau est commutatif si et seulement si est abélien, ou de manière équivalente, si et seulement si contient le groupe dérivé de .
Si n'est pas distingué, alors peut être commutatif même si n'est pas abélien. Un exemple classique est le produit de deux opérateurs de Hecke. C'est le produit dans l'algèbre de Hecke, qui est commutatif bien que le groupe dont elle provient soit le groupe modulaire, qui est non abélien, et le sous-groupe est un sous-groupe arithmétique et en particulier ne contient pas le sous-groupe dérivé. La commutativité du produit de convolution est étroitement liée à la théorie des paires de Gelfand.
Lorsque le groupe est un groupe topologique, il est possible d'affaiblir l'hypothèse selon laquelle le nombre de classes gauche et droite dans chaque classe double est fini. L' algèbre de groupe est remplacée par une algèbre de fonctions telle que ou , et les sommes sont remplacées par des intégrales. Le produit correspond toujours à la convolution. Par exemple, c'est ce que l'on fait pour l'algèbre de Hecke d'un groupe localement compact.
Applications Lorsqu'un groupe a une action de groupe transitive sur un ensemble , calculer certaines décompositions en doubles classes de donne des informations supplémentaires sur la structure de l'action de sur . Plus précisément, si est le stabilisateur d'un élément , alors se décompose exactement comme deux doubles classes suivant si et seulement si agit transitivement sur l'ensemble des paires distinctes de , autrement dit si l'action est .
Les doubles classes sont importantes pour la théorie des représentations, lorsqu'une représentation de est utilisée pour construire une représentation induite de , qui est ensuite à La structure de doubles classes correspondante contient des informations sur la façon dont cette représentation se décompose. Dans le cas des groupes finis, cela donne lieu au théorème de décomposition de Mackey.
Les doubles classes interviennent également en analyse fonctionnelle, où dans certains cas importants, des fonctions invariantes à gauche et invariantes à droite par un sous-groupe peuvent former un anneau commutatif pour la convolution : voir la notion de .
En géométrie, une est un double quotient , où est un groupe de Lie réductif, est un sous-groupe fermé et est un sous-groupe discret (de ) qui agit sur l'espace homogène .
En théorie des nombres, l'algèbre de Hecke correspondant à un du groupe modulaire est engendrée par des éléments du double quotient ; la structure d'algèbre est celle qui provient de la multiplication des doubles classes décrite ci-dessus. Les plus importants sont sans doute les opérateurs de Hecke correspondant aux doubles classes ou , où (ceux-ci ont des propriétés différentes selon que et sont premiers entre eux ou non), et les opérateurs diamants donnée par les doubles classes où et (le choix de n'affecte pas la réponse).
Voir aussi Articles connexes Classe suivant un sous-groupe Opérateur de Hecke Algèbre de Hecke Algèbre de Hecke d'un groupe fini Algèbre de Hecke d'un groupe localement compact
Notes et références
Catégorie:Théorie des groupes