Lhistoire des notations mathématiques décrit la création, la mise au point et la diffusion des symboles inventés par les mathématiciens dans leur pratique, ainsi que les conflits ayant existé entre méthodes de notation concurrentes. Une partie importante de l'historiographie des notations mathématiques est dédiée au développement des systèmes de numérotation, dont les nombres indo-arabes et les usages des lettres des alphabets latin, grec, hébreu et gothique. La notation mathématique. comprend également les symboles utilisés pour écrire des formules mathématiques, dont font partie les équations. Elle implique généralement un ensemble de signes servant à définir des quantités, ainsi que des opérateurs symboliques..
Le développement des notations mathématiques peut être divisé en plusieurs étapes... L'étape rhétorique correspond à l'époque où les calculs sont réalisés par des mots, sans symboles.. Durant l'étape syncopée, la pratique mathématique commence à nécessiter l'usage d'abréviations syntaxiques pour les opérations et quantités fréquemment utilisées. L'étape symbolique est atteinte lorsque des systèmes cohérents de notations nouvelles commencent à supplanter les notations héritées de l'étape rhétorique. Débutant en Italie au , de nouveaux développements mathématiques portés par d'importantes découvertes scientifiques, contribuent en effet à encourager le développement notations dédiées à l’écriture des mathématiques, dont le signe égal. L'utilisation de ces nouveaux symboles devient courante chez les mathématiciens indiens médiévaux et en Europe dès le milieu du . et continue de se développer à l'époque contemporaine.
Étape rhétorique
De nombreux domaines des mathématiques sont apparus avec l'étude de phénomènes physiques, sans que des règles et des concepts sous-jacents ne soient identifiés et définis comme structures abstraites. Par exemple, la géométrie trouve ses origines dans le calcul de longueurs et d'aires dans le monde réel ; l'algèbre émerge avec le besoin de résoudre des problèmes arithmétiques.
La plupart des civilisations anciennes ayant laissé des traces écrites semblent maîtriser la numération et s'intéresser à la mécanique, et quelques-unes connaissaient également des éléments d'arpentage. En particulier, les Égyptiens se sont intéressé à la géométrie et aux nombres, tandis que les Phéniciens ont développé une pratique de l'arithmétique, de la comptabilité, de la navigation et de l'arpentage. Il est cependant probable que le savoir des Égyptiens et des Phéniciens soient le résultat d'observations et de mesure, et représente plusieurs siècles d'accumulation de résultats empiriques. Ces connaissances, accessibles sous certaines conditions aux voyageurs, se sont alors rapidement diffusées, notamment auprès des Grecs anciens et de l'école ionienne.
Débuts de la notation thumb|Tablette babylonienne ( ), donnant une approximation de en sexagésimal (1 24 51 10) dans le contexte du théorème de Pythagore pour un triangle isocèle.
L'écriture des mathématiques a commencé avec des nombres désignés par des marques de dénombrement, chaque encoche représentant une seule unité. Les symboles numériques consistaient probablement en traits ou encoches taillés dans le bois ou la pierre, et compréhensibles de la même manière pour toutes les nationsDe tels caractères, en fait, sont conservés avec peu de modifications dans la numération romaine, dont un compte rendu peut être trouvé dans Philosophy of Arithmetic de John Leslie.. Par exemple, une encoche dans un os représentait un animal, ou une personne, ou n'importe quoi d'autre. Les peuples avec lesquels les Grecs d'Asie Mineure (parmi lesquels commence la notation dans l'histoire occidentale) étaient susceptibles d'être entrés en contact fréquent étaient ceux qui habitaient le littoral oriental de la Méditerranée, et la tradition grecque assignait uniformément le développement spécial de la géométrie aux Égyptiens, et celle de la science des nombresLa théorie des nombres est la branche des mathématiques pures consacrée principalement à l'étude des nombres entiers. Les théoriciens des nombres étudient les nombres premiers ainsi que les propriétés des objets constitués d'entiers (par exemple, les nombres rationnels) ou définis comme des généralisations des nombres entiers (par exemple, les entiers algébriques). soit aux Égyptiens, soit aux Phéniciens.
Les Égyptiens antiques ont une notation symbolique reposant sur la numération par hiéroglyphes... Les mathématiques égyptiennes ont un symbole pour 1, 10, 100, 1000, , et . Des chiffres plus petits sont placés à gauche du nombre, car ils sont en chiffres indo-arabes. Plus tard, les Égyptiens utilisent l'écriture hiératique au lieu de hiéroglyphique pour désigner les nombres. Le hiératique est proche de l'écriture cursive et remplace plusieurs groupes de symboles par des symboles individuels. Par exemple, les quatre lignes verticales utilisées pour représenter 4 sont remplacés par une seule ligne horizontale. On peut le voir dans le papyrus Rhind (vers 2000-1800 ) et le papyrus de Moscou (vers 1890 ). Le système utilisé par les Égyptiens a été découvert et modifié par de nombreuses autres civilisations méditerranéennes. Les Égyptiens ont aussi des symboles pour les opérations de base : les jambes qui avancent représentent l'addition et les jambes qui reculent représentent la soustraction.
Les Mésopotamiens avaient des symboles pour chaque puissance de 10. Ils écrivent par la suite leurs nombres d'une façon similaire à la numération décimale moderne : au lieu de symboles pour chaque puissance de 10, il ne donne que le coefficient associé à chacune. Chaque chiffre est séparé seulement par un espace, mais du temps d'Alexandre le Grand, ils avaient déjà un symbole désignant le zéro comme emplacement réservé. Les Mésopotamiens utilisaient également un système sexagésimal, de base 60, qui est encore utilisé de nos jours pour les mesures de temps et d'angles. Les mathématiques babyloniennes sont dérivées de plus de d'argile découvertes dans des fouilles depuis les années 1850.. Écrites en cunéiforme, ces tablettes étaient marquées alors que l'argile était encore molle, avant d'être durcies à la cuisson au four ou par le soleil. Certaines sont des devoirs notés. La preuve la plus ancienne de mathématiques écrites date des anciens Sumériens et leur système de métrologie de 3000 À partir d'environ 2500 , les Sumériens écrivent leurs tables de multiplication sur des tablettes d'argile et résolvent des exercices de géométrie et des problèmes de division. Les traces les plus anciennes de nombres babyloniens datent de la même période.
La majorité des tablettes d'argile mésopotamiennes date d'entre 1800 et 1600 , et parlent de sujets comme les fractions, l'algèbre, les équations quadratiques et cubiques, et le calcul de nombres , inverses et premiers jumeaux.. Les tablettes incluent aussi des tables de multiplication et des méthodes de résolution des équations linéaires et quadratiques. La tablette babylonienne YBC 7289 donne une approximation de exacte à 5 décimales. Les mathématiques babyloniennes utilisant un système sexagésimal (en base 60), dont il reste de nos jours l'usage des 60 secondes en une minute, en une heure, et 360 (60 × 6) degrés dans un cercle, ainsi que les minutes et secondes d'arc pour les fractions de degré. Les avancées babyloniennes en mathématiques ont été facilitées par la grande divisibilité de 60 : l'inverse de tout entier qui est un multiple de diviseurs de 60 a un développement fractionnaire fini en base 60 (dans la base 10, seuls les inverses des multiples de 2 et 5 ont des développements décimaux finis). Aussi, contrairement aux Egyptiens, aux Grecs et aux Romains, les Babyloniens avaient un véritable système à notation positionnelle, où les nombres écrits dans les colonnes de gauche représentaient des valeurs plus grandes, comme dans le système décimal. Il leur manquait cependant un séparateur décimal, aussi la valeur désignée devait souvent être déduite du contexte.
Étape syncopée thumb|Archimède pensif par Fetti (1620)
Les derniers mots attribués à Archimède sont (), une référence aux cercles dans le schéma qu'il étudiait alors qu'un soldat romain le dérangeait.
L'histoire des mathématiques ne peut être reliée avec certitude à une école ou période avant celle des Grecs ioniens, mais l'histoire consécutive peut être divisée en périodes, avec des distinctions assez clairement marquées. Les mathématiques grecques, qui ont débuté avec l'étude de la géométrie, ont tendu dès le début à être déductives et scientifiques. Depuis le , Pythagore est communément reconnu pour avoir découvert le théorème qui porte son nom, un théorème de géométrie qui stipule que dans un triangle rectangle, l'aire du carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtésCe qui est synthétisé dans l'égalité ..
Les textes mathématiques anciens sont disponibles avec la notation des Égyptiens antiques mentionnée précédemment et avec Plimpton 322 (mathématiques babyloniennes vers 1900 ). L'étude des mathématiques en tant que matière à part entière commence au avec les Pythagoriciens, qui inventèrent le terme « mathématiques » du grec ancien , signifiant « sujet de l'instruction »..
L'influence de Platon a été particulièrement forte en mathématiques et en sciences. Il a contribué à faire la distinction entre les mathématiques pures et les mathématiques appliquées en creusant le fossé entre « l'arithmétique », ce qui désigne la théorie des nombres, et la « logistique », ce qu'on appelle aujourd'hui l'arithmétique. Les mathématiques grecques ont grandement affiné les méthodes (en particulier grâce à l'introduction du raisonnement déductif et de la rigueur mathématique dans la démonstration) et élargi le sujet des mathématiques. Aristote est crédité de ce qui sera plus tard appelé le principe du tiers exclu.
Les mathématiques abstraites sont ce qui traite de la magnitude, la taille relative d'un objet ; Magnitude (vecteur), un terme pour la norme d'un vecteur ; Scalaire (mathématiques), une quantité définie uniquement par sa valeur ; Vecteur euclidien, une quantité définie à la fois par sa norme et sa direction ; Ordre de grandeur, la classe d'échelle ayant un rapport de valeur fixe à la classe précédente. ou quantité, absolument et généralement conférée, sans égard à aucune espèce de grandeur particulière, telle que l'arithmétique et la géométrie. En ce sens, les mathématiques abstraites s'opposent aux mathématiques appliquées, où les propriétés simples et abstraites, et les relations de quantités originellement considérées en mathématiques, sont appliquées aux objets, et par ce moyen se mêlent à des considérations physiques, comme dans l'hydrostatique, l'optique et la navigation..
Archimède est généralement considéré comme le plus grand mathématicien de l'Antiquité et l'un des plus grands de tous les temps.. Il a utilisé la méthode d'exhaustion pour calculer l'aire sous l'arc d'une parabole avec la sommation d'une série infinie, et a donné une approximation remarquablement précise de .. Il a également défini la spirale portant son nom, des formules pour les volumes de surfaces de révolution et un système ingénieux pour exprimer de très grands nombres.
thumb|Les Éléments d'Euclide. Les propriétés 31, 32 et 33 du livre , dans le volume du manuscrit, pages 207 et 208.