En algèbre, les variétés de Shimura sont des analogues de dimension élevée des courbes modulaires. Elles sont formées comme la variété de quotient d'un espace hermitien symétrique par rapport à un sous-groupe de congruence d'un groupe réductif algébrique (défini sur les nombres rationnels).
Les variétés de Shimura portent le nom du mathématicien nippo-américain Gorō Shimura.
Définition formelle
Notation: est le groupe multiplicatif (un groupe algébrique), c'est-à-dire
est le tore de Deligne, c'est-à-dire le tore algébrique sur , que l'on obtient de sur par la restriction de Weil (). est le groupe adjoint de , c'est-à-dire le groupe de quotient de avec son centre. est l'anneau adélique finie de , c'est-à-dire le produit restreint
où parcourt les éléments premiers finis de . est le sous-groupe de . est composant connexes de .
Donnée de Shimura Une donnée de Shimura est une paire constitué d'un groupe réductif sur et une classe -conjugaison des homomorphismes , qui doit vérifier : Pour tout , définit une structure de Hodge sur l'algèbre de Lie de type
Pour tout , l'operation est une involution de Cartan de . n'a pas de -facteur sur lequel la projection de est triviale
Exemple Soit et (la notation GL désignant les groupes linéaires) défini par
et est l'ensemble des -conjugués de
Alors est une donnée de Shimura.
Variétés de Shimura Soit une donnée de Shimura.
Espace de double classe Pour un sous-groupe compact et ouvert , on définit lespace de double classe (en anglais ) par
avec l'opération
Cette opération signifie que opère sur les deux composants et à partir de la gauche. n'opère que sur la deuxième composante à partir de la droite.
Union des variétés algébriques est une union disjointe finie de variétés arithmétiques localement symétriques
(voir par exemple pour la définition de telles variétés algébriques ).
Système inverse Si on fait varier (suffisamment petit), on obtient un système inverse (aussi appelé système projectif) de variétés algébriques
opère sur ce système à travers
et
Ce système inverse muni de l'opération est appelé variété de Shimura et est noté avec .
Références
Catégorie:Géométrie algébrique