En analyse fonctionnelle et calcul stochastique, un espace UMD (en anglais : ) est un espace de Banach dans lequel toutes les séquences de différence de martingale de toute martingale finie sont des séries converge inconditionnellement. De tels espaces ont bon nombre des bonnes propriétés d'un espace de Hilbert, et les séquences de différence de martingale partagent les propriétés des séquences orthogonales. On dit que les espaces de Banach ont la propriété UMD s'ils sont des espaces UMD.
Description Bien que l'espace UMD ait une définition probabiliste, la propriété UMD s'avère être équivalente à certaines propriétés analytiques, comme le fait que la transformation de Hilbert est restreinte à .
Pour définir la notion d'espace UMD, on introduit d'abord lespace UMD pour un certain . Un résultat profond de Maurey et Pisier dit alors qu'un espace de Banach qui est un espace UMD pour un donné est aussi un espace UMD pour tous les autres . On ne parle donc souvent que d'espaces UMD.
À l'aide des espaces UMD, l'isométrie d'Itō peut être étendue aux espaces de Banach et par conséquent une théorie de l'intégration stochastique par rapport à un mouvement brownien pour les variables aléatoires sur un espace de Banach...
Soient un espace de probabilité avec filtration et un espace de Banach. Par nous entendons .
Concepts de base Une série est appelée inconditionnellement convergente, si pour chaque suite avec la série
converge. Soit une martingale à valeurs en et -adapté. est une -martingale si pour tout , cela signifie . Pour une martingale la suite de différence de martingale est définie comme
avec . Si est une -martingale, alors est appelé une .
Définition Soit une suite avec pour tout .
Un espace de Banach est un UMD-espace si pour un certain et une constante , il existe telle que pour toutes les suites de différence de -martingales à valeurs en avec et tout l'inégalité suivante tient
p-indépendance Si est un espace UMD pour un , alors également un espace UMD pour tout .
Propriétés Tous les espaces UMD sont des réflexifs. Ils sont même super-réflexifs. Tous les espaces UMD sont K-convexes.
Relation avec les opérateurs intégraux singuliers Une caractérisation purement analytique des espaces UMD via la transformation de Hilbert vient de Donald Burkholder. et Bourgain.. Soit un espace UMD arbitraire et le tore. Ensuite, ils ont prouvé que les espaces UMD sont précisément les espaces sur lesquels : La transformation de Hilbert est bornée à ; La projection de Riesz est bornée à ; Et donc elles sont aussi bornées pour tout .
Exemples Les espaces suivantes, entre autres, des espaces UMD. : Tous les espaces de dimension finie ; Tous les espaces de Hilbert ; Les espaces pour ; Les espaces de Sobolev pour ; Les classes de Schatten pour ; Espaces de Besov réflexif ; Espaces de Birnbaum-Orlicz réflexif.
Espaces sans propriété UMD Tous les espaces non réflexifs (, etc. pour un espace σ-fini )
Notes et références
Bibliographie . .
Catégorie:Espace vectoriel normé Catégorie:Analyse fonctionnelle Catégorie:Calcul stochastique