En mathématiques, la formule d'Abel-Plana est une formule de sommation découverte indépendamment par Niels Henrik Abel (en 1823) et Giovanni Antonio Amedeo Plana (en 1820). Elle établit que
Pour le cas on a :
Cette formule est vraie pour les fonctions ƒ qui sont holomorphes dans la région Re(z) ≥ 0, et satisfont une condition de croissance appropriée dans cette région ; par exemple, il suffit de supposer que est borné par dans cette région pour certaines constantes C, ε > 0, bien que la formule soit également valable sous des limites beaucoup plus faibles .
Un exemple est fourni par la fonction zêta de Hurwitz :
qui est vérifiée pour tout .
Abel a également donné la variation suivante pour les séries alternées :
qui est lié à la formule de sommation de Lindelöf
Preuve Soit holomorphe sur , tel que , on a et pour , on a . On prend avec le théorème des résidus
Alors
En utilisant le théorème intégral de Cauchy pour la dernière intégrale
obtenant ainsi
Cette identité reste vraie par prolongement analytique partout où l'intégrale converge, donc en faisant tendre on obtient la formule d'Abel-Plana
Le cas s'obtient de manière similaire en remplaçant par deux intégrales le long des mêmes courbes avec un petit écart à gauche et à droite de 0.
Lien avec la formule d'Euler-Maclaurin En développant sous forme de série entière le terme dans l'intégrande, on peut retrouver la formule d'Euler-Maclaurin.
Applications La formule d'Abel-Plana a été utilisée comme alternative à la formule d'Euler-Maclaurin dans le calcul de séries divergentes, notamment celles apparaissant dans l'électrodynamique quantique.
Articles connexes Formule d'Euler-Maclaurin Sommation d'Euler-Boole
Références
Liens externes
Catégorie:Analyse complexe Catégorie:Théorème d'analyse Catégorie:Méthode de sommation