En analyse fonctionnelle, les intégrales à double opérateur (abrégé en IDO, en anglais (DOI) ) sont des intégrales de la forme

où est un opérateur linéaire borné entre deux séparable espaces de Hilbert,

sont des mesures spectrales, où représente l'ensemble des projections orthogonales sur , et est une fonction mesurable et scalaire et est appelé symbole de l'IDO. Les intégrales s'entendent ici sous la forme des intégrales de Stieltjes.

Les IDOs sont apparues pour la première fois en 1956 dans un article de Yuri L. Daletskii et Selim G. Krein, qui ont examiné deux endomorphismes autoadjoints et sur des espaces de Hilbert (où est la perturbation de est) et la dérivée pour certaines fonctions à valeur d'opérateur

sous la forme suivante

trouvé, où est la mesure spectrale de .

La théorie des intégrales à double opérateur a été principalement développée par Mikhail Schljomowitsch Birman et Mikhail Zakharovich Solomyak à la fin des années 1960 et 1970.

L'IDO peut être utilisée pour représenter des normes de différences d'opérateurs

pour operator-lipschitzienne fonctionne et sont donc importantes dans la théorie des perturbations.

Intégrales à double opérateur La définition de l'intégrale induit directement une autre application

qu'on appelle transformateur.

Il s'avère que la définition de tels IDOs ainsi que la classe de symboles autorisés dépendent du choix des espaces d'opérateurs considérés. Dans la considération originale de Birman-Solomyak, l'opérateur était limité à la classe des opérateurs de Hilbert-Schmidt . Cependant, la définition peut être étendue à d'autres classes de Schatten-von Neumann ou à des opérateurs restreints généraux tant que reste également borné.

Birman-Solomyak a maintenant défini la mesure de produit spectral suivante :

pour les ensembles mesurables , alors le double opérateur intégral peut être défini par :

pour les fonctions bornées et mesurables .

Exemple d'application de la théorie des perturbations On considère un espace de Hilbert et deux opérateurs autoadjoints bornés sur . Soit maintenant et une fonction sur un ensemble contenant les spectres de . De plus, laissez être le transformateur et être l'opérateur d'identité. D'après le théorème spectral, et et , il s'ensuit :

Et ainsi :

Bibliographie

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Notes et références

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