En analyse, la règle de dérivation des fonctions réciproques est une formule qui explicite la dérivée de la réciproque d'une fonction bijective et dérivable en fonction de la dérivée de . Autrement dit, si est la réciproque de , et que si et seulement si , alors dans la notation de Lagrange,
.
Cette formule vaut dès lors que est continue et injective sur un intervalle , étant dérivable en () avec .
Démonstration Démonstration analytique Soient et deux fonctions dérivables réciproques, avec . Alors en appliquant la définition de la dérivée comme limite du taux d'accroissement, on déduit :
Or, est continue, donc tend vers lorsque tend vers :
Démonstration par le théorème de dérivation des fonctions composées Soient et deux fonctions dérivables réciproques, on a alors : . Or, d'après le théorème de dérivation des fonctions composées :
.
Donc, en isolant , on déduit :
.
Il convient de préciser que cette "démonstration" n'est qu'un moyen mnémotechnique pour se souvenir de la formule et ne prouve pas la dérivabilité de , puisqu'on admet lors de l'utilisation de la formule des dérivées composées que est dérivable.
Notes et références
Liens externes
Catégorie:Théorème d'analyse