En mathématiques, le critère de Nevanlinna en analyse complexe, prouvé en 1920 par le mathématicien finlandais Rolf Nevanlinna, caractérise les fonctions univalentes holomorphes sur le disque unité d'image étoilée. Nevanlinna a utilisé ce critère pour prouver la conjecture de Bieberbach pour les fonctions univalentes étoilé.
Énoncé de critère Une fonction univalente h sur le disque unité satisfaisant h(0) = 0 et h(0) = 1 est étoilée, c'est-à-dire qui est d'image invariante par multiplication dans [0,1], si et seulement si a une partie réelle positive pour |z| < 1 et prend la valeur 1 en 0.
En appliquant ce résultat à a•h(rz), le critère s'applique sur tout disque |z| < r avec seulement la condition que f(0) = 0 et f'''(0) ≠ 0.
Preuve du critère Soit h(z) une fonction univalente étoilée sur |z| < 1 avec h(0) = 0 et h(0) = 1.
Pour t < 0, on définit
un semi-groupe d'applications holomorphes de D dans lui-même fixant 0.
De plus h est la fonction de Koenigs pour le semi-groupe ft.
Par le lemme de Schwarz, |ft(z)| diminue lorsque t augmente.
Ainsi
Mais, en posant w = ft(z),
où
Ainsi
et ainsi, en divisant par |w|2 ,
En prenant les réciproques et faisant t tendre vers 0,
pour tous |z| < 1. Puisque le membre de gauche est une fonction harmonique, le principe du maximum implique que l'inégalité est stricte.
Inversement si
a une partie réelle positive et g(0) = 1, alors h ne peut s'annuler qu'en 0, de multiplicité simple.
De plus,
Ainsi lorsque z décrit le cercle , l'argument de augmente strictement. Par le principe de l'argument, puisque a un simple zéro à 0, il ne fait le tour qu'une seule fois de l'origine. L'intérieur de la région délimitée par la courbe qu'il trace est donc étoilé. Si a est un point à l'intérieur alors le nombre de solutions N (a) de h(z) = a avec |z| < r est donné par
Comme c'est un entier, dépend continûment de a et N(0) = 1, il vaut identiquement 1. Donc h est univalente et étoilée dans chaque disque |z| < r, et donc partout.
Application à la conjecture de Bieberbach
Lemme de Carathéodory Constantin Carathéodory a prouvé en 1907 que si
est une fonction holomorphe sur le disque unitaire D de partie réelle positive, alors..
En fait il suffit de montrer le résultat avec g remplacé par gr(z) = g(rz) pour tout r < 1 puis de passer à la limite en r = 1. Dans ce cas g se prolonge en une fonction continue sur le disque fermé de partie réelle positive et par la formule de Schwarz
En utilisant l'identité
il s'ensuit que
,
définit donc une mesure de probabilité, et
Ainsi
Preuve de dans le cas des fonctions étoilées Soit
une fonction étoile univalente dans |z| < 1. Nevanlinna (1921) a prouvé que
En fait, selon le critère de Nevanlinna
a une partie réelle positive pour |z|<1. Donc par le lemme de Carathéodory
D'autre part
donne la relation de récurrence
où un'' 1 = 1. Ainsi
donc il s'ensuit par récurrence que
Notes et références
Catégorie:Analyse complexe