En mathématiques, en particulier en théorie des représentations, une représentation fidèle ρ d'un groupe sur un espace vectoriel est une représentation linéaire dans laquelle différents éléments de sont représentés par des applications linéaires distinctes . En langage plus abstrait, cela signifie que le morphisme de groupe est injectif (et éventuellement bijectif).
Mise en garde Alors que les représentations de sur un corps peuvent de facto être identifiés aux modules sur l'algèbre de groupe du groupe , une représentation fidèle de n'est pas nécessairement un module fidèle pour l'algèbre de groupe. Si chaque -module fidèle est une représentation fidèle de , la réciproque n'est pas vraie. Considérons par exemple la représentation naturelle du groupe symétrique de dimension par des matrices de permutation, qui est clairement fidèle. En revanche, l'algèbre de groupe est de dimension , qui est l'ordre du groupe, tandis que l'espace des matrices est de dimension . Dès que est supérieur ou égal à 4, la comparaison des dimensions () montre que l'application n'est pas injective ; autrement dit, le module sur l'algèbre de groupe n'est pas fidèle.
Propriétés Une représentation d'un groupe fini sur un corps algébriquement clos de caractéristique zéro est fidèle (en tant que représentation) si et seulement si toute représentation irréductible de apparaît comme une sous-représentation de la -ième puissance symétrique pour assez grand. Par ailleurs, est fidèle (toujours en tant que représentation) si et seulement si toute représentation irréductible de apparaît comme une sous-représentation de la -ième puissance tensorielle
pour assez grand..
Références
Catégorie:Théorie des représentations