En mathématiques, les intégrales trigonométriques sont une famille d'intégrales basées sur les fonctions trigonométriques.
Intégrales trigonométriques
Sinus intégral
Il existe deux fonctions sinus intégrales :
On peut remarquer que l'intégrande est la fonction sinus cardinal, et la fonction de Bessel sphérique d'ordre 0. Puisque est une fonction entière paire (holomorphe sur tout le plan complexe), est entière, impaire, et l'intégrale dans sa définition peut être calculée le long de tout chemin reliant les extrémités.
Par définition, et la primitive de qui s'annule en , et est celle qui s'annule pour . Leur différence est donnée par l'intégrale de Dirichlet :
En traitement du signal, les oscillations du sinus intégral génèrent des suroscillations en utilisant le filtre sinus cardinal, et des suroscillations fréquentielles en utilisant un filtre sinus cardinal tronqué comme filtre passe-bas.
Ce phénomène est en lien avec le phénomène de Gibbs : si le sinus intégral est considéré comme la convolution de la fonction sinus cardinal avec la fonction de Heaviside, cela revient à tronquer la série de Fourier, d'où l'apparition du phénomène de Gibbs.
Cosinus intégral
Il existe deux fonctions cosinus intégrales :
où est la constante d'Euler-Mascheroni. Certains textes utilisent la notation au lieu de .
est la primitive de qui s'annule pour .
est une fonction entière paire. Pour cela, certains auteurs préfèrent définir puis en déduire .
Généralisations
Les fonctions intégrales généralisées sont définies, pour réel positif, par:
On a alors :
, où et sont les fonctions de Fresnel.
Ces fonctions ont été utilisées dans l'étude du phénomène de Gibbs.
Intégrales trigonométriques hyperboliques
Sinus hyperbolique intégral
Le sinus hyperbolique intégral est défini par
On peut la relier à la fonction sinus intégral par l'égalité :
Cosinus hyperbolique intégral
Le cosinus hyperbolique intégral est défini par
où est la constante d'Euler-Mascheroni.
Il a pour développement limité
Fonctions auxiliaires Les intégrales trigonométriques peuvent être vues en termes de "fonctions auxiliaires"
À partir de ces fonctions, les intégrales trigonométriques peuvent être réécrites en (cf. Abramowitz & Stegun, p. 232)
Spirale de Nielsen
La spirale paramétrée par les fonctions est connue comme la spirale de Nielsen :
La spirale est liée aux intégrales de Fresnel et la spirale d'Euler. La spirale de Nielsen a des applications en traitement de la vision, constructions de route, entre autres.
Développements Selon la valeur de l'argument, on pourra choisir différentes écritures de développements des intégrales trigonométriques.
Séries asymptotiques
Ces séries sont asymptotiques et divergentes, mais peuvent être utilisées pour des estimations et évaluations dès que .
Séries convergentes Les développements suivants se déduisent des séries de Maclaurin du sinus et du cosinus :
Elles sont convergentes pour tout complexe , mais pour , la convergence lente va imposer d'utiliser un grand nombre de termes.
Relation avec l'exponentielle intégrale d'argument imaginaire On considère la fonction exponentielle intégrale
Elle est très proche des fonctions et :
Comme toutes ces fonctions sont analytiques sauf sur la branche des valeurs négatives de l'argument, le domaine de validité de la relation doit être étendu à (hors de ce domaine, des termes additionnels sous forme de facteurs entiers de apparaissent.)
Les cas de l'argument imaginaire pur de la fonction exponentielle intégrale sont
qui est la partie réelle de
De façon similaire,
Méthodes de calcul efficaces Les approximants de Padé des séries de Taylor convergentes donnent une méthode efficace d'évaluation des fonctions pour de petits arguments. Les formules suivantes, données par Rowe et al. (2015), sont précises à au moins pour ,
Les intégrales peuvent également être évaluées indirectement par les fonctions auxiliaires et .
Pour x ≥ 4, les fonctions rationnelles de Padé ci-dessous approchent et avec une erreur inférieure à :
Références
Bibliographie
Voir aussi
Articles connexes Logarithme intégral
Liens externes
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