En mathématiques, notamment en combinatoire et en calcul quantique, la q-dérivée (aussi appelée dérivée de Jackson) est un q-analogue de la dérivée ordinaire, introduite par Frank Hilton Jackson. C'est l'inverse de la q-intégration de Jackson.
Définition La q-dérivée (dérivée de Jackson) d'une fonction est définie comme :
Elle est souvent notée .
Formellement, en termes d'opérateur de décalage de Lagrange en variable logarithmique, on peut écrire :
.
Ceci montre que tend vers la dérivée ordinaire lorsque tend vers 1.
La q-dérivée a des propriétés analogues à la dérivée usuelle. C'est un opérateur linéaire :
.
Il existe une règle de produit analogue à la règle du produit pour la dérivée ordinaire :
.
On a aussi l'identité suivante pour les quotients :
.
Pour la composition, on obtient, avec :
.
La fonction propre de la q-dérivée est la q-exponentielle .
Relation avec les dérivées ordinaires La q-dérivation ressemble à une dérivation ordinaire, avec quelques différences notables. Par exemple, la q-dérivée du monôme est :
où est le q-symbole de Pochhammer de . On peut noter que , et on retrouve alors la dérivée ordinaire.
La q-dérivée -ième d'une fonction vérifie :
si la dérivée -ième ordinaire de existe en . Ici, est le q-symbole de Pochhammer et est la q-factorielle. Si est analytique, on peut appliquer la formule de Taylor à la définition de et ainsi obtenir :
.
Le q-analogue du développement de Taylor d'une fonction autour de 0 devient :
.
q-dérivées d'ordre supérieur Pour les q-dérivées d'ordre supérieur, on a l'identité suivante :
,
où est le coefficient q-binomial. En changeant l'ordre de sommation avec , on obtient la formule suivante :
.
Les dérivées d'ordre supérieur sont utilisées pour la formule de q-Taylor et la formule de q-Rodrigues (une formule utilisée pour construire les q-polynômes orthogonaux).
Exemples On a :
Les q-dérivées des autres fonctions usuelles (exponentielle, trigonométriques) ne sont pas définies de façon unique (voir q-exponentielle.
q-intégration
De façon analogue, pour une fonction donnée, une q-primitive sera une fonction telle que sa q-dérivée soit . En partant de la définition de la q-dérivée, on a :
La dernière équivalence est vraie qui est continue en 0 et si la série converge.
Cette définition n'induit pas qu'une q-primitive de la fonction est nécessairement une q-analogue d'une primitive de .
Généralisations
Calcul post-quantique Le calcul post-quantique est une généralisation de la théorie du calcul quantique ; elle utilise l'opérateur suivant. : .
Différence de Hahn Wolfgang Hahn a introduit l'opérateur suivant (parfois appelé différence de Hahn)Hahn, W. (1949). Math. Nachr. 2: 4-34.Hahn, W. (1983) Monatshefte Math. 95: 19-24. :
.
Lorsque , cet opérateur se réduit à une -dérivée, et lorsque cela devient une différence amont. Il s'agit d'un outil efficace pour construire des familles de polynômes orthogonaux et pour étudier certains problèmes d'approximationKwon, K.; Lee, D.; Park, S.; Yoo, B.: Kyungpook Math. J. 38, 259-281 (1998).Alvarez-Nodarse, R.: J. Comput. Appl. Math. 196, 320-337 (2006)..
β-dérivée La -dérivée est un opérateur défini comme suitAuch, T. (2013): Development and Application of Difference and Fractional Calculus on Discrete Time Scales. PhD thesis, University of Nebraska-Lincoln. :
.
Dans cette définition, est un intervalle donné et est toute fonction continue strictement croissante (c'est-à-dire ). Quand alors cet opérateur est une -dérivée, et quand cet opérateur est la différence de Hahn.
Applications Le q-calcul a été utilisé en apprentissage automatique pour concevoir des fonctions d'activation stochastique.
Pour d'autres formes de q-dérivée, voir .
Références
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . .
Voir aussi Calcul quantique
Liens externes .
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