Les mathématiques des jeux d'argent, ou jeux de hasard, regroupent les applications de la théorie des probabilités rencontrées dans les jeux de hasard et peuvent être incluses dans la théorie des jeux. Sur le plan mathématique, les jeux de hasard se résument à des expériences générant différents types d'événements aléatoires, qu'il est possible de calculer en utilisant les propriétés des probabilités sur un espace fini de probabilités.

Expériences, événements et espaces de probabilité Les processus techniques d'un jeu sont des expériences qui génèrent des événements aléatoires. En voici quelques exemples:

Les occurrences peuvent être définies; cependant, lors de la formulation d'un problème de probabilité, elles doivent l'être avec beaucoup de précautions. D'un point de vue mathématique, les événements ne sont rien d'autre que des sous-ensembles, et l'espace des événements est une algèbre de Boole. On trouve des événements élémentaires et composés, des événements exclusifs et non exclusifs, des événements indépendants et non indépendants.

Dans l'expérience du lancer de dé:

L'événement {3, 5} (dont la définition littérale est l'occurrence de 3 ou de 5) est composé car {3, 5}= {3} U {5}; Les événements {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} sont élémentaires; Les événements {3, 5} et {4} sont incompatibles ou exclusifs car leur intersection est vide, c'est-à-dire qu'ils ne peuvent pas se produire simultanément; Les événements {1, 2, 5} et {2, 5} sont non exclusifs, car leur intersection n'est pas vide;

Dans l'expérience consistant à lancer deux dés l'un après l'autre, les événements "3" sur le premier dé et "5" sur le second sont indépendants car l'occurrence du premier n'influence pas l'occurrence du second, et vice versa.

Dans l'expérience de distribution des cartes de poche au Texas Hold'em Poker:

L'événement consistant à distribuer (3♣, 3♦) à un joueur est un événement élémentaire; L'événement consistant à distribuer deux 3 à un joueur est composé car il est l'union des événements (3♣, 3♠), (3♣, 3♥), (3♣, 3♦), (3♠, 3♥), (3♠, 3♦) et (3♥, 3♦); Les événements le joueur 1 reçoit une paire de rois et le joueur 2 reçoit une paire de rois ne sont pas exclusifs (ils peuvent tous deux se produire); Les événements suivants: le joueur 1 reçoit deux connecteurs de cœur supérieurs à J et le joueur 2 reçoit deux connecteurs de cœur supérieurs à J sont exclusifs (un seul peut se produire); Les événements le joueur 1 reçoit (7, K) et le joueur 2 reçoit (4, Q) ne sont pas indépendants (l'occurrence du second dépend de l'occurrence du premier, alors que le même jeu de cartes est utilisé).

Il s'agit de quelques exemples d'événements de jeu dont les propriétés de composition, d'exclusivité et d'indépendance sont facilement observables. Ces propriétés sont fondamentales dans le calcul pratique des probabilités.

Combinaisons Les jeux de hasard sont de bons exemples de combinaisons, de permutations et d'arrangements qui se rencontrent à chaque étape: combinaisons de cartes dans la main d'un joueur, sur la table ou attendues dans tout jeu de cartes; combinaisons de chiffres lorsqu'on lance plusieurs dés à la fois; combinaisons de chiffres à la loterie et au Bingo; combinaisons de symboles dans les machines à sous; permutations et arrangements dans une course sur laquelle on parie, etc. Le calcul combinatoire fait partie intégrante des applications de la probabilité des jeux de hasard. Dans les jeux de hasard, la plupart des calculs de probabilité dans lesquels nous utilisons la définition classique de la probabilité reviennent à compter les combinaisons. Les événements de jeu peuvent être identifiés à des ensembles, qui sont souvent des ensembles de combinaisons. Il est donc possible d'identifier un événement à une combinaison.

Par exemple, dans un jeu de poker à cinq tirages, le fait qu'au moins un joueur détienne un carré peut être identifié à l'ensemble de toutes les combinaisons de type (xxxxy), où x et y sont des valeurs distinctes de cartes. Cet ensemble comporte 13C(4,4)(52-4)=624 combinaisons. Les combinaisons possibles sont (3♠ 3♣ 3♥ 3♦ J♣) ou (7♠ 7♣ 7♥ 7♦ 2♣). Ceux-ci peuvent être identifiés à des événements élémentaires dont l'événement à mesurer est constitué.

Principes mathématiques

Loi des grands nombres Lorsque des événements aléatoires se produisent un grand nombre de fois, le hasard s'annule de sorte que la moyenne arithmétique des résultats de ces événements est très proche de sa valeur mathématique au sens probabiliste. Par exemple, lorsqu'on lance une pièce de monnaie, il est aléatoire de savoir quel côté de la pièce ressort lorsqu'elle tombe, mais si cela se produit un nombre suffisant de fois, le nombre de fois où la pièce ressort des deux côtés est d'environ la moitié pour chaque côté. C'est ce qu'on appelle la loi des grands nombres.

Gagner et perdre au jeu se comporte également comme un événement aléatoire chez une seule personne et pendant une courte période, mais à long terme, tant que le joueur a un taux de rendement négatif, il est certain qu'il perdra tôt ou tard au fur et à mesure de la progression du jeu. Pour le casino, comme pour les joueurs, tant que le taux de gain du jeu est positif, il s'agit d'une victoire certaine .

Principe du taux de rendement positif La clé de la victoire ou de la défaite est le taux de rendement déterminé par les règles et la stratégie du jeu. Le taux de rendement reflète la vérité et la nature du jeu. Le principe de conception des règles de jeu consiste habituellement à faire en sorte que le taux de gain du casino soit légèrement supérieur à 50 %, ce qui se traduit par un taux de rendement positif légèrement supérieur à zéro. Le jeu n'est pas une question de chance, mais un concours d'intelligence, de stratégie et de rentabilité. Le gain final des jeux de hasard à long terme dépend du taux de rendement du jeu : si le taux de rendement est positif, le rendement attendu est supérieur à zéro et l'on peut gagner; si le taux de rendement est négatif, le rendement attendu est inférieur à zéro et l'on ne peut pas gagner. Lorsque le taux de rendement est négatif, le rôle de la loi des grands nombres se fait de plus en plus sentir. Les joueurs professionnels, qui adhèrent au principe d'un taux de rendement positif, ne jouent pas longtemps et perdront le jeu, mais seulement s'ils sont sûrs de gagner. Ce ne sont pas des joueurs .

Loi des petits nombres La loi des grands nombres signifie que lorsque l'échantillon est proche de l'ensemble, sa probabilité sera proche de la probabilité globale. Le "biais de la loi des petits nombres" fait référence au fait que la distribution de probabilité d'un événement dans un petit échantillon est considérée comme la distribution globale, ce qui exagère la représentativité du petit échantillon par rapport à l'ensemble de la population. Une autre situation est ce que l'on nomme "l'erreur du joueur". Par exemple, lorsqu'on tire à pile ou face, si le résultat tombe sur pile 10 fois de suite, on pourrait penser que la prochaine fois qu'il tombera sur face est très probable ; en fait, la probabilité de tomber sur pile ou sur face est de 0,5 à chaque fois, et elle n'a rien à voir avec le nombre de fois où le résultat est tombé sur pile.

Ignorer l'effet de la taille de l'échantillon, croire que les petits et les grands échantillons ont la même valeur attendue, et remplacer la loi probabiliste correcte des grands nombres par la fausse loi psychologique des faibles nombres, est la cause de l'augmentation considérable de la mentalité des gens en matière de jeu. Les casinos croient en la loi des grands nombres et les joueurs appliquent inconsciemment la loi des petits nombres. La loi des grands nombres permet aux casinos de gagner de l'argent, et la loi des petits nombres permet aux joueurs de donner de l'argent aux casinos .

L'avantage du casino L'avantage du casino est l'avantage que le casino a sur les joueurs pour chaque type de jeu dans le casino.

Si un joueur mise 10$ sur le fait que la pièce tombe sur pile ou face et qu'il gagne, le casino lui verse 10$. S'il gagne, la totalité des 10$ est perdue par le casino ; dans ce cas, l'avantage du casino est nul (le casino n'est certainement pas assez stupide pour ouvrir ce jeu) ; mais s'il gagne, le casino ne lui verse que 9$, et s'il perd, la totalité des 10 $ est perdue par le casino. La différence entre gagner et perdre ce dollar est l'avantage du casino, dans le cas ci-dessus, l'avantage du casino est de 10%.

Dans tout type de jeu dans un casino, le casino a un certain atout par rapport aux joueurs, et ce n'est que de cette manière que le casino peut s'assurer qu'il continuera à ouvrir ses portes à long terme. L'avantage du casino varie considérablement d'un jeu à l'autre, certains jeux ayant un avantage faible et d'autres un avantage élevé. Les personnes qui jouent beaucoup essaient de ne pas jouer à des jeux où l'avantage du casino est élevé .

Attentes et stratégie Les jeux de hasard ne sont pas simplement de pures applications du calcul des probabilités et les situations de jeu ne sont pas seulement des événements isolés dont la probabilité numérique est bien établie par des méthodes mathématiques ; ce sont aussi des jeux dont le déroulement est influencé par l'action humaine. Dans les jeux de hasard, l'élément humain revêt un caractère frappant. Le joueur ne s'intéresse pas seulement à la probabilité mathématique des différents événements de jeu, mais il a des attentes à l'égard des jeux alors qu'il existe une interaction majeure. Pour obtenir des résultats favorables de cette interaction, les joueurs prennent en compte toutes les informations possibles, y compris les statistiques, pour élaborer des stratégies de jeu.

Même si le caractère aléatoire inhérent aux jeux de hasard semble garantir leur équité (du moins en ce qui concerne les participants autour d'une table - battre un jeu ou faire tourner une roue ne favorise aucun joueur, sauf en cas de fraude), les joueurs recherchent et attendent des irrégularités dans ce caractère aléatoire qui leur permettraient de gagner. Il a été mathématiquement démontré que, dans des conditions idéales de hasard et avec une espérance négative, aucun gain régulier à long terme n'est possible pour les joueurs de jeux de hasard. La plupart des joueurs acceptent ce postulat, mais continuent de travailler sur des stratégies qui leur permettent de gagner à court terme ou à long terme.

Avantage ou marge de la maison Les jeux de casino procurent un avantage prévisible à long terme au casino, ou "maison", tout en offrant au joueur la possibilité d'un gain important à court terme. Certains jeux de casino comportent un élément d'habileté, où le joueur prend des décisions ; ces jeux sont appelés "aléatoires avec un élément tactique". Bien qu'il soit possible de minimiser l'avantage de celle-ci en jouant habilement, il est rare qu'un joueur soit suffisamment habile pour éliminer son désavantage inhérent à long terme (l'avantage de la maison ou le vigorish de la maison) dans un jeu de casino. La croyance populaire veut qu'un tel ensemble de compétences implique des années d'entraînement, une mémoire et une capacité de calcul extraordinaires, et/ou une observation visuelle ou même auditive aiguë, comme dans le cas du chronométrage des roues à la roulette . Pour plus d'exemples, voir le jeu avantageux .

Le désavantage du joueur est dû au fait que le casino ne paie pas les mises gagnantes en fonction des "vraies cotes" du jeu, qui sont les paiements auxquels on pourrait s'attendre compte tenu des chances qu'une mise soit gagnante ou perdante. Par exemple, si l'on joue à un jeu en pariant sur le nombre qui résulterait du lancement d'un dé, la cote réelle serait de 5 fois le montant parié puisqu'il y a une probabilité de 1/6 pour qu'un seul numéro apparaisse. Toutefois, le casino ne peut payer que 4 fois le montant misé pour un pari gagnant.