En mathématiques, le développement en cotangente continue d'un nombre réel strictement positif est une écriture de ce nombre utilisant une suite de nombres entiers et la fonction cotangente. Il a été découvert par Derrick Lehmer et permet de retrouver des propriétés équivalentes à celles du développement en fraction continue, tout en permettant d'approcher le réel limite de façon plus efficace.
Définition et propriétés En 1938, Lehmer remarque que la plupart des développements de nombres se basent sur l'itération suivante, pour une fonction bien choisie :
Par exemple, donne le développement en base donne le développement en fraction continue donne le développement en série de Engel
Il considère alors la fonction
Le développement en cotangente continue d'un nombre réel strictement positif est la suite de nombres entiers définie par :
Développements réguliers et réduits Le développement en cotangente continue est dit régulier si : pour tout , est un entier positif la suite vérifie
Dans le cas où la suite est finie, l'inégalité est stricte pour le dernier non nul.
Un développement en cotangente continue est dit réduit s'il est interrompu à partir d'un certain terme. On en déduit une approximation rationnelle du nombre, pas forcément sous sa forme réduite.
Lehmer établit aussi que tout nombre réel admet un développement en cotangente continue régulier unique et convergent, fini si et seulement si est rationnel.
Liens avec le développement en fraction continue généralisée À partir des entiers du développement en cotangente continue d'un nombre, on peut construire son développement en fraction continue généralisée. En effet, on a, puisque :
Construction du développement Développement pour un nombre rationnel Pour rationnel > 0, la suite du développement s'obtient à partir d'un algorithme similaire à l'algorithme d'Euclide pour et :
Initialisation On pose et . Récurrence À l'étape : est le quotient de la division euclidienne de par est le reste de la division euclidienne de par
L'algorithme s'arrête quand le reste est nul.
On l'applique pour Étape Dividende Diviseur Équation Quotient Reste Itération 0372537 = 25 × 1 + 1211237 × 1 + 25 = 621621262 = 12 × 5 + 25262 × 5 + 12 = 32223222322 = 2 × 161 + 01610 Fin de l'algorithme
Soit :
Développement pour un nombre irrationnel Pour irrationnel > 0, la suite du développement s'obtient par récurrence :
Initialisation On pose . Récurrence À l'étape :
On l'applique pour Étape Nombre Partie entière Itéré 0 ≈ 2,7182818...28,961055...18,961055956...875,62293911...275,62293911...758949,669392...38949,669392...8949119646723,6...
Soit : ; la suite est répertoriée comme D'autres suites pour des constantes classiques sont données sur le site de l'OEIS :
où est le nombre d'or et désigne le nombre de Lucas d'indice : Constante de Lehmer Dans sa comparaison entre les développements en fraction continue et ceux en cotangente continue, Lehmer cherche à déterminer les cas où le développement converge le plus lentement.
Le développement en fraction continue à la convergence la plus lente correspond au nombre d'or :
Le développement en cotangente continue à la convergence la plus lente correspond au cas de la suite : : . Ce qui donne le réel :
Ce nombre est appelé constante de Lehmer, voir la . Ce dernier a affirmé que ce nombre était transcendant mais sa preuve n'est pas valide.
Applications Les développements en cotangente continue constituent une alternative aux fractions continues en approximation diophantienne.
Le développement en cotangente continue, grâce à sa convergence très rapide, permet de construire des formules du type de Machin très efficaces. En effet, en reprenant l'exemple du développement de vu supra :
permet d'écrire :
soit
Références
Liens externes
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