En mathématiques, les théorèmes A et B de Cartan sont deux résultats de Henri Cartan démontrés vers 1951, concernant un sur une variété de Stein . Ils sont significatifs à la fois lorsqu'ils sont appliqués aux fonctions de plusieurs variables complexes et dans le développement général de la cohomologie des faisceaux.
Le théorème B est énoncé en termes cohomologiques (une formulation que Cartan (1953, p. 51) attribue à J.-P. Serre):
Des propriétés analogues ont été établies par Serre (1957) pour les faisceaux cohérents en géométrie algébrique, lorsque est un schéma affine. L'analogue du théorème B dans ce contexte est le suivant :
Ces théorèmes ont de nombreuses applications. Par exemple, ils impliquent qu'une fonction holomorphe sur une sous-variété complexe fermée , d'une variété Stein peut être étendue à une fonction holomorphe sur . Ces théorèmes ont été utilisés par Jean-Pierre Serre pour prouver le théorème GAGA.
Le théorème B est optimal dans le sens où si pour tous faisceaux cohérents et sur une variété complexe (resp. faisceaux quasi-cohérents sur un schéma noéthérien ), alors est Stein (resp. affine); voir (resp. et ).
Notes et références
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