vignette|Le logarithme népérien de 2 vu comme une aire sous la courbe de la fonction . Le logarithme népérien (ou naturel) du nombre 2 a pour développement décimal () :
Le logarithme de 2 en base quelconque s'obtient par la formule :
En particulier, le logarithme décimal a pour développement ( ) :
L'inverse de ce nombre est le logarithme binaire de 10 :
( ).
D'après le théorème de Lindemann-Weierstrass, le logarithme népérien (ou naturel) de tout entier naturel autre que 0 et 1 (plus généralement, de tout nombre algébrique positif autre que 1) est un nombre transcendant.
Développements en série
Séries alternées La valeur numérique de peut s'obtenir avec la fameuse « série harmonique alternée » :
Sa convergence lente la rend d'un intérêt peu pratique, mais on peut construire des formules plus efficaces :
Séries monotones
Autres développements en série
(sommes des inverses des nombres décagonaux).
en utilisant
Développements impliquant la fonction zêta de Riemann
.
(ici est la constante d'Euler-Mascheroni et la fonction zêta de Riemann).
Développements issus du développement en série entière du logarithme au voisinage de 1 Ce développement du logarithme népérien (ou naturel) s'écrit : , valable pour .
Il donne , valable pour .
On obtient :
pour dans (1), pour dans (1), pour dans (2).
En écrivant on obtient :
En écrivant on obtient :
En écrivant on obtient :
Développements de type BBP
Une formule de calcul de se déduit de la démonstration de la formule BBP :
Représentations intégrales Le logarithme népérien (ou naturel) de 2 apparaît fréquemment à la suite d'une intégration. Par exemple :
Autres représentations Développement en série d'Engel : , voir . Développement en série de Pierce (analogue au développement d'Engel, mais avec des signes alternés) :
, voir .
Développement en cotangente continue de Lehmer :
, voir .
Développement en fraction continue simple :
voir ,
ce qui donne des approximations rationnelles, dont les premières sont 0, 1, 2/3, 7/10, 9/13 et 61/88.
Il existe aussi un développement en fraction continue généralisée :
, également exprimable sous la forme
Décimales connues Ci-dessous est présenté un tableau des enregistrements récents pour le calcul des décimales de . Depuis , il a été calculé plus de décimales que pour tout autre logarithme népérien. d'un entier naturel, à l'exception de celui de 1. Date Nom Nombre de décimales 7 janvier 2009 A. Yee et R. Chan 15 500 000 000 4 février 2009 A. Yee et R. Chan 31 026 000 000 21 février 2011 Alexandre Yee 50 000 000 050 14 mai 2011 Shigeru Kondo 100 000 000 000 28 février 2014 Shigeru Kondo 200 000 000 050 12 juillet 2015 Ron Watkins 250 000 000 000 30 janvier 2016 Ron Watkins 350 000 000 000 18 avril 2016 Ron Watkins 500 000 000 000 10 décembre 2018 Michael Kwok 600 000 000 000 26 avril 2019 Jacob Riffee 1 000 000 000 000 19 août 2020 Seungmin Kim. 1 200 000 000 100 9 septembre 2021 William Echols.. 1 500 000 000 000
Articles connexes
Règle des 72, article dans lequel figure en bonne place Demi-vie, article dans lequel figure en bonne place
Notes et références
Bibliographie
Catégorie:Constante mathématique Catégorie:Logarithme