En géométrie plane, la radiale d'une courbe , associée à un point O fixe, est le lieu des points P définis par où est le vecteur joignant le point courant M de à son centre de courbure C ; autrement dit, c'est le lieu de l'extrémité du vecteur de courbure, le rayon de courbure, attaché à un point fixe.
Cette notion a été étudiée par en 1864..
Selon Maurice d'Ocagne, c'est Jules Hoüel qui lui aurait donné le nom de radiale.
Radiale d'une courbe paramétrique On suppose la courbe suffisamment dérivable et birégulière.
Pour une courbe paramétrée (x(t), y(t)), sa radiale en un point O(x, y) est la courbe paramétrée par :
Propriétés La radiale d'une courbe algébrique est une courbe algébrique de même degré que sa développée.
On suppose la courbe suffisamment dérivable et birégulière. Si elle est paramétrée par l'abscisse curviligne sous la forme , le centre de courbure s'obtient en posant
où est le centre de courbure, la courbure et le vecteur normal au point .
Le vecteur dérivé de la radiale est
en utilisant les formules de Frenet.
Exemples
Courbe Radiale Conique Courbe sextique Chaînette ordinaire Tractrice Courbe kappa Spirale logarithmique Spirale logarithmique Cycloïde Cercle Épicycloïde Rosace Deltoïde Astroïde Quadrifolium
Applications Les courbes radiales apparaissent dans la détermination des couples roue-route : en considérant le roulement sans glissement d'une courbe (la roue) sur une courbe (la route), déterminer un point fixe (le moyeu de la roue) par rapport à tel que sa trajectoire soit rectiligne dans le plan.
Un théorème de Amédée Mannheim établit en effet que pour une courbe et un point donnés, la radiale de cette courbe par rapport au point et sa courbe de Mannheim forment un couple roue-route.
Voir aussi Développée
Références
Liens externes
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