vignette|Les données de base du problème de Monty Hall :soient trois portes, cachant soit une chèvre soit une voiture, l'automobile étant derrière une seule porte et les deux chèvres se trouvant derrière les deux portes restantes.
Le problème de Monty Hall est un jeu mathématique, directement inspiré du jeu télévisé américain Let's Make a Deal. Il porte le nom de l'animateur qui a longtemps présenté ce jeu aux États-Unis, Monty Hall.
Simple dans son énoncé, mais non intuitif dans sa résolution, le problème de Monty Hall est parfois appelé « paradoxe de Monty Hall ».
Énoncé Le jeu oppose un présentateur à un candidat (le joueur).
Le joueur est placé devant trois portes fermées. Derrière l'une d'entre elles se trouve une voiture et derrière chacune des deux autres se trouve une chèvre. Le joueur doit tout d'abord désigner une porte. Puis le présentateur ouvre une porte qui n'est ni celle choisie par le candidat, ni celle cachant la voiture (le présentateur sait quelle est la bonne porte dès le début). Le candidat a alors le droit d'ouvrir la porte qu'il a choisie initialement, ou d'ouvrir la troisième porte. S'il ouvre la porte derrière laquelle se trouve la voiture, il l’emporte.
Les questions qui se posent au candidat sont : Que doit-il faire ? Quelles sont ses chances de gagner la voiture en agissant au mieux ?
Historique et évolution de l'énoncé du problème
Ci-dessous est reproduite la traduction d'un énoncé célèbre du problème., issu d'une lettre que Craig F. Whitaker avait fait paraître dans la rubrique de Marilyn vos Savant du Parade Magazine en Le texte original était :
La publication de cet article dans le Parade Magazine a eu un impact immédiat sur le lectorat et a engendré de très nombreuses discussions parmi les mathématiciens, célèbres ou non, et les amateurs anonymes. Marilyn vos Savant, réputée pour figurer au Guinness Book of Records comme étant la personne au quotient intellectuel le plus élevé au monde (QI de 228), a ainsi reçu plus de (estimation faite par elle-même) traitant du problème, dont plusieurs provenant d'universitaires remettant en question la pertinence de la démonstration reproduite dans sa rubrique. En 1991, pour une édition dominicale, la une du ouvre sur ce sujet. Jerry Pournelle, célèbre chroniqueur du de , a également discuté le problème longuement en tant qu'adversaire de la solution de Marilyn, pour se ranger en fin de compte à ses arguments. Enfin, une discussion controversée a eu lieu à propos de l'article du Parade Magazine dans la rubrique tenue par Cecil Adams dans l'hebdomadaire .
La pertinence des résultats statistiques était parfois contestée : ce qui posait le plus souvent problème était que l'article n'insistait pas sur les « contraintes » du présentateur. Les résultats donnés impliquaient nécessairement les postulats suivants :
Que le présentateur ne peut pas ouvrir la porte choisie par le candidat. Que le présentateur ouvre obligatoirement une porte dévoilant une chèvre et sans préférence s'il a le choix Que le présentateur donne systématiquement la possibilité au candidat de revenir sur son choix initial.
Or, comme ces éléments n'étaient pas mis en avant dans l'énoncé du problème, et ce même s'ils étaient implicites, d'autres résultats statistiques que ceux donnés dans l'article devenaient possibles.
En considérant que ces postulats étaient une condition de l'énoncé du problème, il s'est avéré que les résultats de l'article étaient effectivement justifiés.
Finalement, cet énoncé s'inscrit dans la lignée de ceux consacrés à ce type de paradoxe. Une des premières apparitions de ce problème date de 1898 dans Probabilités de Calcul de Joseph Bertrand où il est décrit comme le paradoxe des boîtes de Bertrand (à ne pas confondre avec le paradoxe de Bertrand).
Un énoncé exempt d'ambiguïté
Il est préférable de se fonder sur un énoncé non équivoque du problème, incluant les contraintes du présentateur, décrit par Mueser et Granberg comme suit :
Soient trois portes, l'une cache une voiture, les deux autres une chèvre. Les prix sont répartis par tirage au sort. Le présentateur connaît la répartition des prix. Le joueur choisit une des portes, mais rien n'est révélé. Le présentateur ouvre une autre porte ne révélant pas la voiture. Si le joueur choisit une porte à chèvre, le présentateur ouvrira la seule autre porte à chèvre. Si le joueur choisit la porte à voiture, le présentateur ouvrira au hasard une des deux portes à chèvre (éventuellement préalablement désignée par tirage au sort). Le présentateur propose au candidat de changer son choix de porte à ouvrir définitivement.
La question qui se pose alors est :
Le joueur augmente-t-il ses chances de gagner la voiture en changeant son choix initial ? C'est-à-dire : la probabilité de gagner en changeant de porte est plus grande que la probabilité de gagner sans changer de porte ?
Une solution rapide et non-ambiguë La solution la plus simple repose sur les dénombrements, soit le comptage du nombre de cas satisfaisants, insatisfaisants et total. Voici sa formulation : .
Explications : Les font référence aux trois cas du jeu : {choix d'une chèvre, choix d'une chèvre, choix du prix}. Les font référence aux deux cas désavantageux : {choix d'une chèvre, choix d'une chèvre}. Comme une probabilité s'exprime en tant que quotient des nombres de cas, et comme la porte ne s'ouvre jamais sur le prix, on a donc deux chances sur trois d'être face aux choix .
Développement On numérote les cas et on définit les événements en fonction du choix initial comme suit : cas 1 (C) : le candidat a choisi la porte de la chèvre 1 cas 2 (C) : le candidat a choisi la porte de la chèvre 2 cas 3 (V) : le candidat a choisi la porte de la voiture Ces trois événements sont équiprobables :
On observe maintenant le déroulement de la suite dans chacun de ces trois cas : cas 1 : Le candidat ayant initialement choisi la porte de la chèvre 1, le présentateur ouvre la porte de la chèvre 2. La porte restante cache la voiture. cas 2 : Le candidat ayant initialement choisi la porte de la chèvre 2, le présentateur ouvre la porte de la chèvre 1. La porte restante cache la voiture. cas 3 : Le candidat ayant initialement choisi la porte de la voiture, le présentateur ouvre la porte d'une des deux chèvres. La porte restante cache une chèvre. On voit ici aisément que dans 2 cas sur 3, la porte restante cache la voiture.
Traduction en probabilités On ajoute donc aux événements précédents les trois événements suivants : C : le candidat a choisi initialement une des deux portes à chèvre. On a alors
GVC : le candidat Gagne la Voiture en Changeant de porte GVS : Le candidat Gagne la Voiture Sans changer de porte Le joueur change de porte On a vu précédemment que lorsque le candidat avait choisi initialement une porte à chèvre, changer de porte le menait forcément à gagner la voiture, soit :
On a aussi vu qu'en ayant initialement choisi la voiture, changer de porte menait forcément le candidat à ouvrir une porte à chèvre. Donc :
La probabilité de gagner en changeant de porte s'écrit donc comme suit :
Le joueur ne change pas de porte Dans ce cas, le candidat ne gagne que s'il avait choisi initialement la voiture, on a donc :
La probabilité de gagner sans changer de porte s'écrit donc comme suit:
Controverse
Si l'on demande une réponse rapide et intuitive, deux points de vue incompatibles s'opposent.
Le premier affirme qu'après ouverture de la porte, il reste deux portes, chacune ayant tout autant de chances de cacher la voiture. On a donc tout autant de chances de gagner avec changement que sans changement (ce point de vue consiste en fait à ignorer comment la porte ouverte dévoilant la chèvre a été sélectionnée). Le second affirme que si l'on ne change pas de porte, on gagne si et seulement si on avait fait le bon choix au départ. Or, ce choix avait une chance sur trois d'être bon. Il y a donc de chances de gagner sans changer, de chances de gagner en changeant.
Ce problème a longtemps été un cas de paradoxe probabiliste (à l'instar du problème de la Belle au bois dormant) pour lequel il existe deux solutions contradictoires défendables sans qu'on parvienne à faire triompher une interprétation. La solution et s'impose, en particulier après la réalisation de simulations d'un grand nombre de tirages — c'est en particulier seulement ainsi que le mathématicien Paul Erdős admit cette solution ; la simulation est ici si simple à programmer que ses résultats sont indiscutables. Le premier point de vue est une illusion de parité due au fait qu'un choix est demandé sur les deux portes restantes. Mais les espérances de gain associées à ces portes ne sont pas identiques.
En supposant que le participant pense que le présentateur ouvre une des deux portes restantes au hasard, le résultat serait différent : on constitue la liste les triplets de choix de la forme ( choix participant, choix présentateur, porte restante) dont les éléments sont notés C pour chèvre, V pour voiture : (C,C,V), (C,V,C), (C,C,V), (C,V,C),(V,C,C), (V,C,C). Après dévoilement de la première porte qui est C, les cas (C,V,C) sont donc exclus, et le participant conclut avoir les cas suivants de façon équiprobable (ils le sont) : (C,C,V), (C,C,V), (V,C,C), (V,C,C). À ce moment il voit deux cas sur quatre où l'autre porte est V et deux autres cas où elle est C, soit une chance sur deux de gagner ou perdre en gardant son choix.
Les hypothèses importantes Les trois portes ont, tant qu'aucune n'est ouverte, la même probabilité d'être la porte gagnante : . pour chacune. Le présentateur doit ouvrir une porte, et celle-ci ne peut être ni la porte choisie par le joueur, ni la porte gagnante. Ces conditions sont toujours disponibles et il peut y répondre sans risque d'erreur puisqu'il connaît les emplacements. Quand le présentateur a le choix entre deux portes à ouvrir (elles sont alors toutes deux perdantes), il choisit arbitrairement entre les deux, avec équiprobabilité.
Ces hypothèses sont toutes importantes et on verra que la modification de n'importe laquelle conduit à un résultat différent. Mais souvent, l'usage de plusieurs de ces hypothèses est implicite.
Réfutation des arguments pro-1/2
Longtemps le raisonnement développé ci-dessus n'a pas fait l'unanimité. Il lui était reproché de considérer que l'ouverture d'une mauvaise porte laisse inchangée la probabilité pour que la porte initialement choisie soit la bonne : . Il est effectivement légitime de se demander pourquoi l'ouverture de la troisième porte ne modifie la probabilité que de l'une des deux portes : c'est la notion de probabilité conditionnelle, et, en fait, toute probabilité, explique Myron Tribus, est conditionnelle à un état de connaissance.
Ceux qui refusent ce raisonnement (les personnes pro-) considèrent que la situation après ouverture d'une porte est équivalente à ouvrir une mauvaise porte avant le choix du candidat. Ils affirment par conséquent que la probabilité de gagner est la même en changeant ou sans changer, soit .
L'erreur de ce type de raisonnement est de ne retenir que l'événement « une porte a été ouverte ». Si une porte était ouverte strictement au hasard parmi les deux portes non choisies, et qu'elle révélait une chèvre, la probabilité deviendrait effectivement pour chacune des deux autres portes, parce qu'exclure les cas où le présentateur ouvrirait la porte cachant la voiture améliore de fait la probabilité que la voiture soit derrière la porte choisie initialement.
En revanche, après ouverture de la porte par l'animateur, la probabilité que la voiture soit derrière la porte non ouverte et non choisie par le joueur a progressé : dans le cas où la voiture est derrière une des deux portes non choisies par le joueur (2 chances sur 3), l'animateur a éliminé la chèvre (le mauvais choix pour le joueur), il ne reste donc que la voiture.
En changeant son choix le joueur a donc une probabilité de × 1 = de trouver la voiture.