En mathématiques, les théorèmes de comparaison sont des théorèmes dont l'énoncé implique des comparaisons entre différents objets du même type, et que l'on trouve souvent dans des domaines tels que le calcul infinitésimal, les équations différentielles et la géométrie riemannienne.
Équations différentielles Dans la théorie des équations différentielles, les théorèmes de comparaison donnent des propriétés particulières des solutions d'une équation différentielle (ou d'un système différentiel), à condition qu'une égalité, une inégalité ou un système auxiliaire possède une certaine propriété.Un mot clé connexe, qui mériterait un article : le principe de comparaison de Lyapounov..
Exemples :
inégalité de Chaplygin. ; inégalité de Grönwall, ainsi que ses diverses généralisations, qui fournit un principe de comparaison pour les solutions des équations différentielles ordinaires du premier ordre ; théorème de comparaison de Sturm-Picone ; théorème de comparaison utilisé par Aronson et Weinberger pour caractériser les solutions de l', une équation de réaction-diffusion ; théorème de comparaison de Hille-Wintner.
Géométrie riemannienne En géométrie riemannienne, c'est un nom traditionnel pour un certain nombre de théorèmes qui comparent diverses métriques et fournissent diverses estimations..
Exemples : , qui relie la courbure sectionnelle d'une variété riemannienne à la vitesse à laquelle ses géodésiques se séparent ; théorème de comparaison de Toponogov ; théorème de Myers ; théorème de comparaison de la hessienne ; théorème de comparaison du laplacien ; théorème de comparaison de Morse-Schönberg ; théorème de comparaison de Berger, théorème de comparaison de Rauch-Berger. ;
théorème de comparaison de Warner pour les longueurs des N-champs de Jacobi (N étant une sous-variété d'une variété riemannienne complète). ; , dont l'hypothèse est une minoration des courbures de Ricci. ; théorème de comparaison de Lichnerowicz ; théorème de comparaison des valeurs propres :
voir aussi : .
Autres domaines Exemples :
règle de comparaison des séries, sur la convergence des séries ; règle de comparaison des intégrales, sur la convergence des intégrales ; , un outil technique issu de la théorie des suites spectrales.
Notes et références
Comparaison