En théorie des nombres, le théorème de Carmichael, du nom du mathématicien américain R. D. Carmichael, énonce que, pour toute suite de Lucas non dégénérée de première espèce de paramètres premiers entre eux et de discriminant strictement positif, le nombre a, pour , au moins un diviseur premier qui ne divise aucun nombre précédent dans la suite, à l'exception du nombre de Fibonacci et de son équivalent .
En particulier, pour , le nombre de Fibonacci a au moins un diviseur premier qui ne divise aucun nombre de Fibonacci antérieur.
Carmichael a démontré ce théorème en 1913. Récemment en 2001, Yabuta en a donné une preuve simple.
Énoncé Étant donné deux entiers premiers entre eux , tels que et , soit la suite de Lucas de première espèce définie par
Alors, pour , a au moins un diviseur premier qui ne divise aucun avec , sauf , et
. Un tel nombre premier est appelé facteur caractéristique ou diviseur premier primitif de .
Carmichael a en fait montré un théorème légèrement plus fort : Pour , a au moins un diviseur premier primitif ne divisant pas Dans la définition d'un diviseur premier primitif p, il est souvent requis que p ne divise pas le discriminant. sauf
Il faut noter que doit être strictement positif ; ainsi les cas etc. ne sont pas inclus, puisque dans ces cas .
Cas des nombres de Fibonacci et des nombres de Pell Les seules exceptions dans les nombres de Fibonacci pour jusqu'à 12 sont :
et , qui n'ont pas de diviseurs premiers , dont le seul diviseur premier est 2 (qui est ) , dont les seuls diviseurs premiers sont 2 (qui est ) et 3 (qui est )
La suite des plus petits diviseurs premiers primitifs de pour (prenant la valeur 1 si ce diviseur premier n'existe pas) :
1, 1, 2, 3, 5, 1 ( = 6), 13, 7, 17, 11, 89, 1 ( = 12), 233, 29, 61, 47, 1597, 19, 37, 41, 421, 199, 28657, 23, 3001, 521, 53, 281, 514229, 31, 557, 2207, 19801, 3571, 141961, 107, 73, 9349, 135721, 2161, 2789, 211, 433494437, 43, 109441...
Si , le nombre de Pell d'indice a au moins un diviseur premier qui ne divise aucun nombre de Pell antérieur. Ces plus petits diviseurs premiers primitifs pour (avec la même définition en cas de non existence que ci-dessus) sont :
1, 2, 5, 3, 29, 7, 13, 17, 197, 41, 5741, 11, 33461, 239, 269, 577, 137, 199, 37, 19, 45697, 23, 229, 1153, 1549, 79, 53, 113, 44560482149, 31, 61, 665857, 52734529, 103, 1800193921, 73, 593, 9369319, 389, 241...
Voir aussi
Théorème de Zsigmondy (qui énonce une propriété similaire pour les suites ).
Références
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