En mathématiques, le calcul fonctionnel matriciel est une théorie permettant d'étendre à des matrices une fonction définie initialement uniquement pour des variables réelles ou complexes.
Fonction d'une matrice En prolongeant ces définitions, on peut définir pour toute fonctionnelle complexe définie sur un ouvert de contenant les valeurs propres de M. Les propriétés de régularité sont à prendre au sens complexe, ainsi on dit qu'une fonction est -dérivable en z si
Définitions Par interpolation Indépendance du choix de polynôme On considère alors un polynôme P qui interpole aux points λ et aux ordres m. On définit alors f(M) par P(M).
En fait, on aurait pu se contenter d'interpoler f aux ordres de multiplicité géométriques (c'est-à-dire l'ordre des valeurs propres dans le polynôme minimal) pour avoir ce résultat :
Le calcul fonctionnel est donc bien défini indépendamment du choix du polynôme interpolateur. Ceci répond en particulier à la question laissée en suspens : le calcul fonctionnel défini pour les matrices diagonalisables ne dépendait pas du choix de la matrice de passage.
Formule de Sylvester
Les propriétés du calcul fonctionnel et l'expression du polynôme d'interpolation de Lagrange permettent d'établir la formule suivante, appelée formule de Sylvester. Pour toute matrice M diagonalisable de valeurs propres et toute fonction définie sur un voisinage de ces valeurs propres
Il existe des formules analogues dans le cas non diagonalisable.
Par sa forme de Jordan Cette définition est plus générale et donc adaptée aux matrices non diagonalisables.
On considère alors sa forme de Jordan : pour une matrice M carrée de taille n, avec p valeurs propres de multiplicités respectives , alors il existe une matrice P inversible telle que :
On a alors :
Par la formule intégrale de Cauchy
où f est analytique et un contour fermé autour du spectre σ(M).
Propriétés Ce calcul fonctionnel hérite automatiquement des propriétés de morphismes du calcul fonctionnel polynomial : pour toutes fonctions f et g de classe C sur un ouvert U contenant les valeurs propres de M :
où 1 désigne le polynôme constant égal à 1. où désigne l'application identité.
Exemples
Exponentielle d'une matrice On appelle alors exponentielle d'une matrice l'image de l'application
Cette définition est valable pour toute matrice carrée.
Logarithme d'une matrice On appelle alors logarithme d'une matrice l'image de l'application .
Cette définition n'est valable pour toute matrice carrée telle que . De même que la fonction logarithme est multivaluée sur le plan complexe, le logarithme principal d'une matrice est une matrice dont les valeurs propres ont une partie imaginaire entre – et .
On peut définir le logarithme de toute matrice définie positive hermitienne avec la définition suivante : .
Polynôme matriciel Pour tout polynôme , on peut définir le polynôme matriciel :
Cette définition est valable pour toute matrice carrée.
Fonction d'une matrice 2×2 Pour toute fonction f, une matrice 2×2 peut s'écrire
où sont les valeurs propres de la matrice, soit les solutions de l'équation , et qui sont données par
Applications De la même façon qu'une exponentielle de matrice a été définie pour la résolution de systèmes différentiels linéaires du premier ordre, on peut définir une fonction de matrice pour des systèmes différentiels plus généraux. Par exemple, un système différentiel linéaire du second ordre, de la forme :
aura une solution de la forme :
où les cosinus et sinus de matrices sont définies par les séries matricielles :
et est la racine carrée matricielle de A.
On peut ainsi définir la dans la résolution des équations discrète de Liapounov et de .
Les divers calculs fonctionnels Pour des descriptions détaillées plus rigoureuses, voir Calcul fonctionnel holomorphe ; ,
Références
Catégorie:Théorie des opérateurs