En mathématiques, un groupe de lacets (loop group en anglais) est un groupe composé de lacets dans un groupe topologique .
Définition Dans sa forme la plus générale, un groupe de lacets est un groupe d'applications continues d'une variété dans un groupe topologique .
Plus précisément, soit , le cercle dans le plan complexe, et soit désignant l'espace des applications continues , c'est-à-dire
muni de la topologie compacte-ouverte. Un élément de est un lacet de . La multiplication point par point de lacets donne à la structure d'un groupe topologique.
L'espace est appelé groupe libre de lacets sur . Un groupe de boucles désigne n'importe quel sous-groupe du groupe libre .
Exemples Un exemple important de groupe de lacets est le groupe des lacets pointés sur . Par définition, c'est le noyau du morphisme , et est donc un sous-groupe distingué fermé de . (Ici, est le morphisme qui envoie à un lacet sa valeur à .) Notez que nous pouvons plonger dans en tant que sous-groupe des lacets constantes. Par conséquent, nous obtenons une suite exacte courte : Des groupes de boucles ont été utilisés pour expliquer le phénomène des transformations de Bäcklund dans les équations du soliton par Chuu-Lian Terng et Karen Uhlenbeck Geometry of Solitons par Chuu-Lian Terng et Karen Uhlenbeck.
Notes
Références
Articles connexes
Espace de boucle Quasigroupe
Catégorie:Groupe topologique