En géométrie, les inégalités du triangle sont des inégalités, strictes ou larges, faisant intervenir des paramètres du triangle, éventuellement sous certaines conditions. Parmi ces paramètres, on trouve entre autres les longueurs des côtés, le demi-périmètre, les mesures des angles, les valeurs des fonctions trigonométriques de ces angles, l'aire du triangle, les longueurs des médianes, les hauteurs, les longueurs des segments des bissectrices intérieures joignant un sommet au côté opposé, les longueurs des segments des médiatrices joignant un côté à l'un des deux autres, les rayons des cercles inscrit, exinscrits et circonscrit.
Sauf indication particulière, ces inégalités sont valables dans le plan euclidien, pour un triangle non aplati.
Notations
Liste de ces paramètres avec leur notation :
les longueurs des côtés a, b et c; le demi-périmètre (soit la moitié du périmètre 2p); les mesures A, B et C des angles aux sommets, opposés aux côtés de longueurs respectives a, b et c (on utilise la même notation que pour les sommets associés); l'aire S du triangle; les médianes ma, mb et mc (longueurs des segment joignant un sommet au milieu du côté opposé) ; les hauteurs ha, hb et hc (distances des sommets aux côtés opposés, éventuellement étendus) ; les bissectrices ta, tb et tc (longueurs des segments des bissectrices intérieures joignant un sommet au côté opposé) ; les médiatrices pa, pb et pc (longueurs des segments des médiatrices joignant un côté à l'un des deux autres) ; le rayon r du cercle inscrit (tangent aux trois côtés), les rayons ra, rb et rc des cercles exinscrits (chacun étant tangent à un côté du triangle et aux extensions des deux autres côtés), et le rayon R du cercle circonscrit (passant par les trois sommets).
Inégalités faisant intervenir les côtés
L'inégalité triangulaire classique s'écrit
ce qu'on peut résumer en
De plus,
où la borne de droite, minimale., est approchée asymptotiquement par certaines classes de triangles approchant le cas dégénéré du triangle plat. L'inégalité de gauche, vérifiée pour tous a, b, c strictement positifs est connue comme étant l'inégalité de Nesbitt.
On a :
Si l'angle C est obtus (strictement supérieur à 90°) alors
à l'inverse, si C est aigu (strictement inférieur à 90°) alors
Le cas intermédiaire, qui correspond à l'égalité, pour lequel C est droit, constitue le théorème de Pythagore.
Dans le cas généralInequalities proposed in “Crux Mathematicorum” and elsewhere", .,
l'égalité étant atteinte à la limite dans le cas d'un triangle isocèle dont l'angle au sommet approche 180°.
Si le centre de gravité du triangle est à l'intérieur de son cercle inscrit, alors
Les inégalités précédentes utilisent le fait que a, b, c vérifient l'inégalité triangulaire classique ci-dessus.
Les inégalités suivantes sont par contre vraies pour tout triplet (a, b, c) de réels strictement positifs :
les trois termes étant égaux ssi . Autrement dit, la moyenne harmonique des côtés est inférieure ou égale à leur moyenne géométrique, elle-même inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique.
Inégalités faisant intervenir les angles On a :
ou p est le demi-périmètre, l'égalité étant atteinte dans le cas équilatéral.
.
où désigne le nombre d'or.
.
En fonction des rayons R et r des cercles circonscrit et inscrit, on a :
avec égalité ssi le triangle est isocèle avec son angle au sommet supérieur à 60°; ainsi que
avec égalité ssi le triangle est isocèle avec l'angle au sommet inférieur à 60°
On a aussi :
qui est aussi vérifiée par les angles B et C, avec égalité à gauche si le triangle est isocèle avec un angle au sommet d'au moins 60° et égalité à droite si le triangle est isocèle avec un angle au sommet d'au plus 60°.
De plus, les angles A et B, de côtés opposés a et b respectivement, sont liés par l'équivalence . Ce résultat est lié au et sa réciproque, qui stipule que ssi .
Par le d'Euclide, tout angle externe d'un triangle est plus grand que chacun des angles internes aux sommets opposés:
Si un point M est intérieur au triangle ABC, alors
Pour tout triangle acutangle, on a:
l'inégalité étant inversée pour un triangle obtusangle.
De plus, pour des triangles non obtusangles, on a
l'égalité étant atteinte ssi le triangle est droit en B.
Inégalités faisant intervenir l'aire
L'inégalité de Weitzenböck faisant intervenir l'aire S s'écrit :
avec égalité dans le cas équilatéral. C'est un corollaire de l'inégalité de Hadwiger-Finsler, qui s'écrit
De même,
et
À partir du troisième majorant de S, par l'inégalité de la moyenne arithmético-géométrique, on retrouve l'inégalité isopérimétrique pour les triangles :
où p est le demi-périmètre. On donne parfois l'inégalité en fonction du périmètre 2p :
avec égalité dans le cas équilatéralChakerian, G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.. Une borne meilleure est donnée par
L'inégalité de Bonnesen améliore le théorème isopérimétrique :
On a aussi :
avec égalité dans le cas équilatéral ;
L' pour les triangles acutangles s'écrit :
L'aire du triangle peut aussi être comparée à l'aire du cercle inscrit (de rayon r) :
avec égalité dans le cas équilatéral..
Si un triangle inscrit dans un triangle de référence est tel que les côtés du triangle intérieur partitionnent le périmètre du triangle de référence en segments de longueurs égales, le rapport de leurs aires est majoré par:
On note l'intersection des bissectrices internes en A, B et C avec les côtés opposés, respectivement D, E et F. Alors
Une droite passant par une médiane du triangle sépare l'aire de sorte que le rapport entre l'aire du plus petit triangle et le triangle de référence vaut au moins 4/9.
Médianes et centre de gravité
Les trois médianes d'un triangle joignent un sommet au milieu du côté opposé, et la somme de leurs longueurs vérifie
De plus,
avec égalité pour le triangle équilatéral. Avec le rayon du cercle inscrit r, on a :
Si on prolonge les médianes jusqu'au cercle circonscrit et qu'on note les longueurs des médianes prolongées Ma, Mb et Mc, alors
Le centre de gravité G est l'intersection des médianes. On note U, V, and W, les intersections respectivement de (AG), (BG) et (CG) avec le cercle circonscrit. Alors on a:
et
De plus,
Pour un triangle acutangle, on a:
où R est le rayon du cercle circonscrit ; l'inégalité change de sens pour un triangle obtusangle.
On note IA, IB, IC les distances des sommets au centre du cercle inscrit, on a alors:
Les trois médianes de tout triangle peuvent former les côtés d'un autre triangle.:
De plus.:
Hauteurs
Les hauteurs, relient un sommet au côté opposé, éventuellement étendu, et forment un angle droit. Les longueurs vérifient:
et
Par addition, si alors:
On a aussi
Avec les bissectrices internes ta, tb, tc aux sommets A, B, C, de rayons de cercle circonscrit R et inscrit r, on a
Les inverses des hauteurs de tout triangle peuvent elles aussi former un triangle.:
Bissectrices internes et centre du cercle inscrit
Les bissectrices internes sont des segments joignant un sommet du triangle au côté opposé et divisant l'angle au sommet en deux angles égaux ; on note leurs longueurs ta etc. Ces longueurs vérifient :
et se comparent aux hauteurs et aux médianes par:
et
avec le rayon du cercle inscrit r et celui du cercle circonscrit R.
Soient Ta, Tb et Tc les longueurs des bissectrices internes étendues au cercle circonscrit. Alors:
avec égalité dans le cas équilatéral.
De plus,
Pour le centre du cercle inscrit I (l'intersection des bissectrices internes),
En notant les milieux M, M, M des milieux:
Pour le centre du cercle inscrit I, le centre de gravité G, le centre du cercle circonscrit O, le centre du cercle d'Euler N, et l'orthocentre H, on a pour les triangles non-équilatéraux, les inégalités de distances.
et les inégalités d'angle:
De plus,
Les trois triangles formés avec le centre du cercle inscrit, OIH, GIH et OGI, sont obtusangles:
Puisque ces triangles ont les angles obtus indiqués, on a :
d'autre part, le deuxième résultat est équivalent à un résultat plus fort que le premier, établi par Euler; reprinted in Opera Omnia, serie prima, vol. 26 (A. Speiser, ed.), n. 325, 139–157.:
Plus l'angle au sommet est grand, plus la bissectrice interne sera courte.:
Médiatrices
L'inégalité suivante fait intervenir les longueurs pa etc., correspondant aux segments de droite portés par les médiatrices des côtés du triangles et intérieurs au triangle. En supposant , on a
Segments depuis un point quelconque Point intérieur
On considère un point P intérieur au triangle. On a :
et on a même un résultat plus fort que la deuxième de ces inégalités: si AB est le plus petit côté du triangle, alors
On a aussi l'inégalité de Ptolémée:
valable pour toutes les permutations des sommets A, B, C.
Si on tire des perpendiculaires depuis le point P vers les côtés du triangle, dont on note les pieds L, M et N, on a:
De plus, l'inégalité d'Erdős-Mordell établit que. http://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200711index.html .
avec égalité dans le cas équilatéral. Un résultat plus fort, l' établit que les bissectrices intérieures des angles dont le sommet est le point intérieur P (soit les angles ) intersectent les côtés du triangle en U, V et W, alors.
On a également un résultat plus puissant que l'inégalité d'Erdős–Mordell: soient L, M, N les projections orthogonales de P sur BC, CA, AB respectivement, et R, S, T les projections orthogonales de P sur les côtés du triangle tangentiel (le triangle formé par les tangentes au cercle circonscrit au triangle ABC) respectivement. Alors
On a aussi
On a également, avec R, rayon du cercle circonscrit
Avec l'aire du triangle S, on a:
Avec le centre de gravité G, les milieux des côtés M, M, M, et le demi-périmètre p:
De plus, pour tout nombres positifs k1, k2, k3, et :
et pour , on a:
Point quelconque
Il existe de nombreuses inégalités pour un point quelconque du plan du triangle en fonction de rayon du cercle inscrit. Par exemple,
D'autres incluent:
Avec le rayon du cercle circonscrit R,
Soit ABC un triangle, de centre de gravité G, et soient M, M, M, les milieux de BC, CA et AB, respectivement. Pour tout point P du plan de ABC:
Rayons des cercles inscrit, exinscrits et circonscrit
Rayons des cercles inscrit et circonscrit
L'inégalité d'Euler pour le rayon du cercle circonscrit R et le rayon du cercle inscrit r stipule que
avec égalité pour tout triangle équilatéral.
Une version plus forte est:
Par comparaison,
le terme de droite peut être positif ou négatif.
Deux autres raffinements de l'inégalité d'Euler sont
Une autre inégalité symétrique est donnée par:
De plus,
où est le demi-périmètre
avec l'aire du triangle T
et
et . thumb L'expression est égale à est la distance entre les centres des cercles inscrit et circonscrit. La première inégalité est une égalité ssi le triangle est isocèle avec un angle au sommet d'au moins 60°, la deuxième est une égalité ssi le triangle est isocèle avec un angle au sommet d'au plus 60°. Les trois termes sont donc égaux ssi on est dans le cas équilatéral.
On a aussi pour tout côté a.
avec si le centre du cercle circonscrit est sur ou hors du cercle inscrit et s'il est à l'intérieur du cercle inscrit. Le deuxième cas est vérifié ssi
De plus,
Linégalité de Blundon stipule que:
On a aussi, pour des triangles acutangles
Du point I, on tire les demi-droites [AI), [BI) et [CI) jusqu'au cercle circonscrit ; on note les intersections D, E et F respectivement. Alors
Avec les angles aux sommets, on a
On note les rayons des cercles tangents au cercle circonscrit, passant par A et tangent à (BC), passant par B et tangent à (CA), passant par C et tangent à (AB), respectivement. Alors
avec égalité ssi le triangle est équilatéral, et
avec égalité ssi le triangle est équilatéral.