En mathématiques, en particulier en géométrie, une transvection est une application linéaire ou affine, d'un espace vectoriel ou affine dans lui-même, se restreignant à l'identité dans un hyperplan et vérifiant une condition supplémentaire.
Cet article est à lire en parallèle avec celui sur les dilatations.
Transvection vectorielle
Définitions vignette|Illustration d'une transvection vectorielle. Un endomorphisme d'un K-espace vectoriel est appelé une transvection s'il existe un hyperplan tel que tout vecteur a pour image lui-même s'il est dans , et un translaté de lui-même par un vecteur de sinon.
Soient plus précisément un endomorphisme, l'ensemble des vecteurs invariants, et ; d'après le théorème du rang, si est un hyperplan, est une droiteCeci même en dimension infinie, car un supplémentaire du noyau d'un endomorphisme est toujours isomorphe à son image.. Alors est une transvection si l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée.: est l'identité, ou bien est un hyperplan (base de la transvection) et la droite , direction de la transvection, est incluse dans (c'est-à-dire que pour tout de , appartient à ). est l'espace tout entier ou un hyperplan, et . Il existe une forme linéaire sur et un vecteur de tels que pour tout de : .. En dimension finie, pour , on peut rajouter les conditions :
est un hyperplan et . est un hyperplan et est non diagonalisable.
Propriétés
Les transvections sont bijectives ().
En dimension finie, elles engendrent le groupe spécial linéaire des automorphismes de déterminant 1 de . L'ensemble des transvections de base un hyperplan , plus l'identité, en forme un sous-groupe, isomorphe au groupe additif (au vecteur de , faire correspondre la transvection ). Toute transvection est le produit de deux dilatations.
Matrice de transvection
Dans une base de contenant une base de dont l'un des vecteurs est un vecteur directeur de , la transvection a pour matrice une matrice du type avec , la matrice étant constituée de zéros partout sauf un 1 en position .
Ces matrices sont appelées matrices élémentaires de transvection ; elles engendrent le groupe spécial linéaire .
La forme la plus réduite, qui est sa forme de Jordan, de la matrice d'une transvection différente de l'identité est
Exemples
vignetteLa transvection de associée à la matrice , illustrée ci-contre, est définie par , où et (cf. la troisième caractérisation ci-dessus) ; est une transvection de base l'axe des abscisses et de direction le même axe. Une transvection d'un espace vectoriel euclidien est entièrement définie par un vecteur normal et normé de son hyperplan de base, un vecteur normé de sa direction, et le coefficient défini par . On a alors : . La matrice de dans une base orthonormée dont les premiers vecteurs sont dans et se terminant par et est .
Des transvections sont utilisées pour définir la courbe de Takagi.
Transvection affine Une transvection d'un espace affine est soit l'identité, soit une application affine de dans dont l'ensemble des points invariants est un hyperplan de (base de la transvection) et telle que pour tout point le vecteur reste parallèle à . Les vecteurs forment alors une droite vectorielle (direction de la transvection).Une transvection affine a pour partie linéaire une transvection vectorielle. Réciproquement, les applications affines ayant pour partie linéaire une transvection vectorielle sont les transvections glissées, composée d'une transvection et d'une translation de vecteur parallèle à la base.
Étant donnés deux points et tels que la droite est parallèle à un hyperplan , mais non incluse dans cet hyperplan, il existe une unique transvection de base envoyant sur ; on obtient l'image d'un point dans le cas où est sécante à par la construction de la figure ci-contre ; dans le cas contraire, .
Transvection en géométrie projective Si l'on plonge l'espace affine dans son complété projectif, en lui adjoignant un hyperplan à l'infini , on sait que l'on peut munir le complémentaire de l'hyperplan d'une structure d'espace affine : les droites qui sont sécantes en un point de dans deviennent parallèles dans et celles qui sont parallèles dans deviennent sécantes en un point de .
À toute transvection d'hyperplan de est alors associée une application affine de qui n'est autre qu'une translation.
Si maintenant on envoie un autre hyperplan que et à l'infini, la transvection devient une homologie spéciale ou élation.
En résumé, il y a, en géométrie projective, identité entre les translations, les transvections, et les homologies spéciales.
Réalisation d'une transvection par perspective parallèle
On plonge l'espace euclidien de dimension comme hyperplan d'un espace de dimension et on fait tourner autour d'un hyperplan (qui est de dimension ), de façon à en obtenir une copie .
Tout point de a une copie dans , donc aussi l'image de par une transvection de base .
On montre que la droite garde une direction fixe , ce qui montre que s'obtient par projection de dans (projection de base et de direction )Voir cette page sur le site de l'université de Modène une réalisation concrète de ce procédé.. Connaissant , on en déduit par rotation.
Notes et références
Voir aussi
Transformation géométrique Dilatation (géométrie) Homologie (géométrie)
Catégorie:Géométrie affine Catégorie:Géométrie projective Catégorie:Transformation géométrique